[论文解读] Efficient Enumeration of Dominating Sets for Sparse Graphs

Kurita, Kazuhiro, K. Wasa+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 26被引用 1

一句话总结

本文提出了两种高效算法，用于枚举稀疏图中的所有支配集：EDS-D 在 k-退化图中每解运行时间为 O(k)，EDS-G 在围线数至少为九的图中实现每解均摊 O(1) 时间。方法通过利用退化性和围线数约束来体现结构稀疏性，从而实现最优输出敏感性能。

ABSTRACT

A dominating set $D$ of a graph $G$ is a set of vertices such that any vertex in $G$ is in $D$ or its neighbor is in $D$. Enumeration of minimal dominating sets in a graph is one of central problems in enumeration study since enumeration of minimal dominating sets corresponds to enumeration of minimal hypergraph transversal. However, enumeration of dominating sets including non-minimal ones has not been received much attention. In this paper, we address enumeration problems for dominating sets from sparse graphs which are degenerate graphs and graphs with large girth, and we propose two algorithms for solving the problems. The first algorithm enumerates all the dominating sets for a $k$-degenerate graph in $O(k)$ time per solution using $O(n + m)$ space, where $n$ and $m$ are respectively the number of vertices and edges in an input graph. That is, the algorithm is optimal for graphs with constant degeneracy such as trees, planar graphs, $H$-minor free graphs with some fixed $H$. The second algorithm enumerates all the dominating sets in constant time per solution for input graphs with girth at least nine.

研究动机与目标

• 为稀疏图中的所有支配集（含极小与非极小）设计高效的枚举算法。
• 解决尽管在实际应用中具有相关性，但非极小支配集枚举仍缺乏关注的问题。
• 利用结构稀疏性度量（退化性和围线数）设计输出敏感算法，实现每解最优时间复杂度。
• 为常数退化性或大围线数的图类（如树和平面图）提供高效枚举的理论基础。

提出的方法

• 提出 EDS-D 算法，基于 k-退化性定义的顶点排序，实现每解 O(k) 时间内枚举所有支配集。
• 采用反向搜索框架，建立规范的父子关系，确保无重复且完整覆盖。
• 对于 EDS-G，利用围线数约束（≥9）证明每个支配集的后代数量有界，从而实现每解均摊 O(1) 时间。
• 应用图论引理，基于邻域和环路约束，界定支配集的子代、孙代及曾孙代数量。
• 通过势函数分析，将递归探索的代价分配至后代，实现每解均摊 O(1) 时间。
• 利用图论性质，如无短环和公共邻居有限，确保唯一性与分支有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在稀疏图中实现所有支配集（包括非极小者）的输出敏感枚举，并获得优于平凡时间界限的性能？
• RQ2 图的退化性是否能支持比 O(n) 或 O(∆) 每解更快的枚举算法？
• RQ3 能否利用图的围线数实现所有支配集的均摊 O(1) 时间枚举？
• RQ4 是否可能设计一种算法，在高围线数或低退化性的稠密图类中实现多项式延迟或常数均摊时间？
• RQ5 退化性和围线数等结构属性如何影响支配集的分支因子与总数？

主要发现

• EDS-D 在 k-退化图中每解以 O(k) 时间枚举所有支配集，对退化性为常数的图（如树、平面图、H-退化自由图）实现最优性能。
• EDS-G 在围线数至少为九的图中实现每解均摊 O(1) 时间，利用无短环特性限制后代增长。
• 两种算法均采用反向搜索框架与规范的父子关系，确保完整且无冗余枚举。
• 两种算法的空间复杂度均为 O(n + m)，适用于大规模稀疏图，内存效率高。
• 理论分析证明，每轮递归调用的代价可均摊至后代，从而在围线数基础上的算法中实现常数时间性能。
• 结果表明，通过退化性和围线数衡量的结构稀疏性，可显著提升枚举效率，超越平凡界限。