[论文解读] Efficient Quantum Algorithm for Hidden Quadratic and Cubic Polynomial Function Graphs

Thomas Decker, Paweł Wocjan|ArXiv.org|Mar 21, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文提出了一种高效的量子算法，用于在有限域上识别隐藏的二次和三次多项式函数，通过将问题简化为量子态识别任务。该算法实现了常数成功概率和对数多倍复杂度的查询复杂度，相较于经典方法（在域大小 p 上需要多项式查询）展现出显著的量子加速优势。

ABSTRACT

We introduce the Hidden Polynomial Function Graph Problem as a natural generalization of an abelian Hidden Subgroup Problem (HSP) where the subgroups and their cosets correspond to graphs of linear functions over the finite field F_p. For the Hidden Polynomial Function Graph Problem the functions are not restricted to be linear but can also be multivariate polynomial functions of higher degree. For a fixed number of indeterminates and bounded total degree the Hidden Polynomial Function Graph Problem is hard on a classical computer as its black box query complexity is polynomial in p. In contrast, this problem can be reduced to a quantum state identification problem so that the resulting quantum query complexity does not depend on p. For univariate polynomials we construct a von Neumann measurement for distinguishing the states. We relate the success probability and the implementation of this measurement to certain classical problems involving polynomial equations. We present an efficient algorithm for hidden quadratic and cubic function graphs by establishing that the success probability of the measurement is lower bounded by a constant and that it can be implemented efficiently.

研究动机与目标

• 将阿贝尔隐藏子群问题（HSP）推广至包含高次多项式函数的多变量情形。
• 解决经典计算机在识别隐藏多项式函数图时的计算困难性，该问题在域大小 p 上需要多项式查询。
• 开发一种量子算法，以与域大小 p 无关的查询复杂度解决隐藏多项式函数图问题。
• 通过分析态可区分性和测量成功概率，建立一元二次和三次多项式的高效量子算法。

提出的方法

• 使用标准 HSP 技术，将隐藏多项式函数图问题简化为量子态识别问题。
• 构建一种冯·诺依曼测量，以区分对应于一元多项式函数的量子态。
• 将测量的成功概率与某些经典多项式方程的可解性相关联。
• 利用 Buchberger 算法和 Gröbner 基技术分析非正则情形，并界定代数系统中解的数量。
• 证明对于一元二次和三次多项式，测量的成功概率下限为一个常数。
• 展示可通过代数几何和多项式系统求解技术高效实现该测量。

实验结果

研究问题

• RQ1 隐藏子群问题能否推广至包含有限域上非线性、多变量多项式函数的情形？
• RQ2 与经典查询复杂度相比，识别隐藏多项式函数图的量子查询复杂度如何？
• RQ3 如何利用量子态可区分性高效求解隐藏多项式函数图问题？
• RQ4 用于区分对应于二次和三次多项式的量子测量的成功概率是多少？
• RQ5 尽管底层代数系统复杂，能否为一元二次和三次多项式构造高效的量子算法？

主要发现

• 隐藏多项式函数图问题的经典查询复杂度在 p 上为多项式，因此在大域上经典求解困难。
• 量子查询复杂度与 p 无关，对固定次数的多项式实现了在 p 上的对数多倍缩放。
• 对于一元二次和三次多项式，量子测量的成功概率下限为常数，确保了可靠识别。
• 可通过代数几何技术（包括 Gröbner 基计算和多项式系统求解）高效实现该测量。
• 相关代数系统解的数量有界（最多十个），确保了非正则情形的可处理性。
• 该算法通过将问题简化为具有常数成功概率的态识别，并实现高效计算，实现了量子加速。