[论文解读] Efficient Quantum Circuits for Accurate State Preparation of Smooth, Differentiable Functions

Adam Holmes, A. Y. Matsuura|arXiv (Cornell University)|May 9, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 42被引用 11

一句话总结

本文提出了一种线性时间算法，用于生成线性深度的量子线路，以高保真度制备平滑、可微、实值函数——如高斯分布、对数正态分布和洛伦兹分布——的量子态。通过将分段多项式逼近编码到矩阵乘积态（MPS）中，并利用低秩MPS压缩与量子门提取技术，该方法即使在高度压缩的量子态下也能实现超过99%的保真度，从而为量子算法提供高效的初始化方案。

ABSTRACT

Effective quantum computation relies upon making good use of the exponential information capacity of a quantum machine. A large barrier to designing quantum algorithms for execution on real quantum machines is that, in general, it is intractably difficult to construct an arbitrary quantum state to high precision. Many quantum algorithms rely instead upon initializing the machine in a simple state, and evolving the state through an efficient (i.e. at most polynomial-depth) quantum algorithm. In this work, we show that there exist families of quantum states that can be prepared to high precision with circuits of linear size and depth. We focus on real-valued, smooth, differentiable functions with bounded derivatives on a domain of interest, exemplified by commonly used probability distributions. We further develop an algorithm that requires only linear classical computation time to generate accurate linear-depth circuits to prepare these states, and apply this to well-known and heavily-utilized functions including Gaussian and lognormal distributions. Our procedure rests upon the quantum state representation tool known as the matrix product state (MPS). By efficiently and scalably encoding an explicit amplitude function into an MPS, a high fidelity, linear-depth circuit can directly be generated. These results enable the execution of many quantum algorithms that, aside from initialization, are otherwise depth-efficient.

研究动机与目标

• 为在近期量子硬件上高精度初始化任意量子态这一难以解决的挑战提供解决方案。
• 通过提供高效、可扩展的态制备方法，促进量子算法（尤其是蒙特卡洛方法与量子机器学习）的实际执行。
• 开发一种方法，用于构建针对平滑、可微、实值函数（且导数有界）的高精度量子线路。
• 确保算法在经典计算时间上呈线性增长，并在系统规模增大时仍保持高保真度。

提出的方法

• 该方法使用分段多项式逼近来表示具有有界导数的目标平滑函数。
• 将每个多项式分段编码为具有受控纠缠维度的矩阵乘积态（MPS）。
• 应用变分压缩技术，将MPS压缩至低且有界的纠缠维度，同时保持保真度。
• 采用ran2020encoding中已知的算法，从压缩后的MPS中提取线性深度的量子线路。
• 整个流程优化为线性经典运行时间，瓶颈在于变分MPS压缩。
• 该方法具有可调性，可通过调整多项式阶数与逼近策略，在精度与资源消耗之间实现平衡。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以使用线性深度与线性规模的量子线路，以高保真度制备具有有界导数的平滑、可微、实值函数？
• RQ2 这些函数的矩阵乘积态表示是否随量子比特数增加而表现出指数下降的冯诺依曼熵，从而支持高效压缩？
• RQ3 分段多项式逼近与变分MPS压缩相结合，能否实现在线性经典计算时间内的高保真度态制备？
• RQ4 所构建态的保真度如何随系统规模与函数参数化变化，特别是在高度压缩的分布下？
• RQ5 该算法在多大程度上可推广至其他解析函数或能被低阶多项式良好逼近的经典数据集？

主要发现

• 对于高斯分布、对数正态分布与洛伦兹分布，该算法仅使用三次多项式即可实现超过99%的态制备保真度。
• 当改用五次多项式时，保真度分别提升至99.8%、99.91%与99.95%，表明在多种分布下均具有极高精度。
• 所构建线路与理论最优态之间的最优性比值随系统规模增大保持不变或进一步改善，表明具有良好的可扩展性。
• 基于SVD的χ=2 MPS近似在更大系统规模下仍保持高保真度，支持低纠缠维度表示可有效扩展的猜想。
• 该方法实现了经典计算时间线性增长的线性深度量子线路构建，其中变分MPS压缩为主要计算瓶颈。
• 实证结果表明，随着离散化程度增加，精度未出现衰减，支持该方法可扩展至大规模量子系统的潜力。