[论文解读] Efficient quantum tensor product expanders and unitary t-designs via the zigzag product

Pranab Kumar Sen|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文提出了一种利用zigzag积的高效量子构造方法，用于张量积展开器和酉 $t$-设计，实现了几乎-Ramanujan 量子 $t$-张量积展开器，其度数与谱间隙之间的权衡接近最优。该研究将经典zigzag积推广至量子设置，实现了 $t = \mathrm{polylog}(D)$，并优于先前的方法，包括构造出 $\lambda \leq d^{-1/2 + O(1/√{\log d})}$ 的结果。

ABSTRACT

A classical t-tensor product expander is a natural way of formalising correlated walks of t particles on a regular expander graph. A quantum t-tensor product expander is a completely positive trace preserving map that is a straightforward analogue of a classical t-tensor product expander. Interest in these maps arises from the fact that iterating a quantum t-tensor product expander gives us a unitary t-design, which has many applications to quantum computation and information. We show that the zigzag product of a high dimensional quantum expander (i.e. t = 1) of moderate degree with a moderate dimensional quantum t-tensor product expander of low degree gives us a high dimensional quantum t-tensor product expander of low degree. Previously such a result was known only for quantum expanders i.e. t = 1. Using the zigzag product we give efficient constructions of quantum t-tensor product expanders in dimension D where t = polylog(D). We then show how replacing the zigzag product by the generalised zigzag product leads to almost-Ramanujan quantum tensor product expanders i.e. having near-optimal almost quadratic tradeoff between the degree and the second largest singular value. Both the products give better tradeoffs between the degree and second largest singular value than what was previously known for efficient constructions.

研究动机与目标

• 将经典zigzag积推广至量子 $t$-张量积展开器（qTPEs），以实现酉 $t$-设计的高效构造。
• 改进量子展开器中度数 $d$ 与第二奇异值 $\lambda$ 之间的权衡，逼近Ramanujan界。
• 将zigzag积推广至“广义zigzag积”，以构造几乎Ramanujan的qTPEs，实现接近最优的谱间隙。
• 提供一种针对 $t = \mathrm{polylog}(D)$ 的 $t$-qTPEs 的构造方法，克服先前代数或电路方法的局限性。
• 证明zigzag积可产生针对大 $t$ 的高效、显式 $t$-设计构造，其效率和谱性能优于早期方法。

提出的方法

• 通过将高维 $t=1$ 量子展开器与低度数 $t$-qTPE 通过结构化超级算符复合，将zigzag积适配至量子 $t$-张量积展开器。
• 该构造利用广义zigzag积来优化谱界，实现 $\lambda \leq 8(\lambda_1 + 7\epsilon) + \lambda_2^{k-1} + \lambda_2^k + 47\sqrt[4]{t(t-1)/(dd')}$.
• 该方法依赖于 $k$ 层 $s$-度数 $t$-qTPE 的递归复合，其中 $k \leq \log s$，以增强展开性质。
• 其核心在于序列 $\vec{\mathcal{H}}$ 的 $t$-qTPEs 是 $\epsilon$-优良的，确保各层之间谱衰减受控。
• 通过算子范数不等式与扰动分析，对谱范数 $\|\mathcal{G} - \mathcal{I}\|_\infty \leq \lambda$ 进行有界。
• 当 $d' \geq 30 \log s (\log s + \log d) d^{2k+1} \epsilon^{-2}$ 时，可保证序列 $\vec{\mathcal{H}}$ 存在且 $\lambda_2 < 8s^{-1/2}$，从而实现接近最优的谱间隙。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典zigzag积能否推广至量子 $t$-张量积展开器，以实现针对 $t = \mathrm{polylog}(D)$ 的酉 $t$-设计的高效构造？
• RQ2 在量子 $t$-TPE 设置下，zigzag积可实现怎样的谱权衡，特别是关于度数 $d$ 与第二奇异值 $\lambda$ 的关系？
• RQ3 广义zigzag积能否产生几乎Ramanujan的量子 $t$-TPEs，使得 $\lambda \leq d^{-1/2 + O(1/\sqrt{\log d})}$？
• RQ4 与局部随机电路或代数Cayley图构造等先前方法相比，zigzag积构造在效率和谱性能上表现如何？
• RQ5 为何zigzag积无法推广至经典 $t$-张量积展开器？其结构差异为何导致此限制？

主要发现

• zigzag积构造产生一个 $t$-qTPE，满足 $\lambda \leq 8(\lambda_1 + 7\epsilon) + \lambda_2^{k-1} + \lambda_2^k + 47\sqrt[4]{t(t-1)/(dd')}$.
• 当 $d' \geq 30 \log s (\log s + \log d) d^{2k+1} \epsilon^{-2}$ 时，序列 $\vec{\mathcal{H}}$ 存在且满足 $\lambda_2 < 8s^{-1/2}$，从而实现接近最优的谱界。
• 该方法构造出一个无限族几乎Ramanujan的 $t$-qTPEs，满足 $\lambda \leq d^{-1/2 + O(1/\sqrt{\log d})}$，逼近理论上的Ramanujan界。
• 当 $t=1$ 时，该构造恢复了Ben-Aroya与Ta-Shma [BT11] 的结果，但常数更优，并将其扩展至 $t = \mathrm{polylog}(D)$。
• 广义zigzag积在度数与谱间隙之间的权衡上优于Brandão、Harrow与Horodecki [BHH16] 提出的局部随机电路构造。
• 该构造首次提供了针对 $t = \mathrm{polylog}(D)$ 的 $t$-qTPEs 的高效、显式方法，显著优于先前的代数或电路方法。