[论文解读] Ehresmann doubles and Drinfel'd doubles for Lie algebroids and Lie bialgebroids

Kirill C. H. Mackenzie|ArXiv.org|Nov 26, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文通過雙向量叢中的對偶性，引入了雙李代數叢的創新概念，並證明了李雙代數叢的余切叢自然攜帶雙重李代數叢結構。主要貢獻在於證明一對對偶的李代數叢構成李雙代數叢，當且僅當它們的余切叢構成雙重李代數叢，從而將李雙代數的大衛夫林雙叢推廣至李代數叢的設定。

ABSTRACT

The word `double' was used by Ehresmann to mean `an object X in the category of all X'. Double categories, double groupoids and double vector bundles are instances, but the notion of Lie algebroid cannot readily be doubled in the Ehresmann sense, since a Lie algebroid bracket cannot be defined diagrammatically. In this paper we use the duality of double vector bundles to define a notion of double Lie algebroid, and we show that this abstracts the infinitesimal structure (at second order) of a double Lie groupoid. We further show that the cotangent of either Lie algebroid in a Lie bialgebroid has a double Lie algebroid structure, and that a pair of Lie algebroid structures on dual vector bundles forms a Lie bialgebroid if and only if the structures which they canonically induce on their cotangents form a double Lie algebroid. In particular, the Drinfel'd double of a Lie bialgebra has a double Lie algebroid structure. We also show that matched pairs of Lie algebroids, as used by J.-H. Lu in the classification of Poisson group actions, are in bijective correspondence with vacant double Lie algebroids.

研究动机与目标

• 定義一個推廣埃雷斯曼雙叢概念至李代數叢的雙重李代數叢概念。
• 證明李雙代數叢的余切叢攜帶雙重李代數叢結構。
• 建立一對對偶的李代數叢構成李雙代數叢，當且僅當它們在余切叢上誘導的結構構成雙重李代數叢。
• 展示李雙代數的大衛夫林雙叢可透過此構造作為雙重李代數叢出現。
• 將李代數叢的匹配對與空虛雙重李代數叢關聯，透過對偶性提供分類。

提出的方法

• 使用雙向量叢的對偶理論，定義雙向量叢上兩個李代數叢結構之間的相容性。
• 透過誘導的泊松結構，在對偶向量叢的余切叢上構造李代數叢結構。
• 應用 $T^*A^*$ 與 $T^A$ 之間的典型微分同構，將結構識別於同一總空間上。
• 證明當且僅當 $A$ 和 $A^*$ 上的原始結構構成李雙代數叢時，$T^*A$ 上誘導的結構才構成雙重李代數叢。
• 使用李函子，證明雙重李群叢的無限小結構產生雙重李代數叢。
• 驗證包含核心映射與反辛同構的關鍵圖形之交換性，以確認泊松結構的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 給定李代數叢的括號不是向量叢範疇中的態射，能否將埃雷斯曼雙叢的概念推廣至李代數叢？
• RQ2 李雙代數叢的余切叢是否自然攜帶雙重李代數叢結構？
• RQ3 兩對對偶的李代數叢構成李雙代數叢的條件，是否等價於它們在余切叢上誘導的結構構成雙重李代數叢？
• RQ4 李雙代數的大衛夫林雙叢與新定義的雙重李代數叢之間有何關係？
• RQ5 李代數叢的匹配對與空虛雙重李代數叢之間的關係為何？

主要发现

• 李雙代數叢 $ (A, A^*) $ 的余切叢攜帶雙重李代數叢結構，其具體實現為 $ (A, A^*) $ 的余切雙叢。
• 一對對偶的李代數叢 $ A $ 和 $ A^* $ 構成李雙代數叢，當且僅當在 $ T^*A $ 和 $ T^*A^* $ 上誘導的李代數叢結構構成雙重李代數叢。
• 李雙代數的大衛夫林雙叢可透過此構造實現為雙重李代數叢，從而推廣經典情形。
• 李代數叢的匹配對與空虛雙重李代數叢之間存在一一對應關係，提供分類工具。
• $ T^*A $ 上的雙重李代數叢結構源自典型反辛同構與核心映射的相容性，透過泊松與反泊松映射予以確認。
• 此構造與李函子相容：雙重李群叢的無限小結構產生雙重李代數叢。