[论文解读] Manin Triples for Lie Bialgebroids

Zhangju Liu, Alan Weinstein+1 more|ArXiv.org|Aug 28, 1995

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用 8

一句话总结

本文通过将 Drinfel'd 双重构造从李代数推广到李代数丛，引入了李代数丛的 Manin 三元组概念。它建立了在一对对偶向量丛上李双代数丛结构与柯朗代数丛中 Dirac 结构之间的一一对应关系，将 Manin 三元组理论扩展到李代数丛的设定，并为双哈密顿结构和泊松群胚的推广提供了新框架。

ABSTRACT

In his study of Dirac structures, a notion which includes both Poisson structures and closed 2-forms, T. Courant introduced a bracket on the direct sum of vector fields and 1-forms. This bracket does not satisfy the Jacobi identity except on certain subspaces. In this paper we systematize the properties of this bracket in the definition of a Courant algebroid. This structure on a vector bundle $E ightarrow M$, consists of an antisymmetric bracket on the sections of $E$ whose ``Jacobi anomaly'' has an explicit expression in terms of a bundle map $E ightarrow TM$ and a field of symmetric bilinear forms on $E$. When $M$ is a point, the definition reduces to that of a Lie algebra carrying an invariant nondegenerate symmetric bilinear form. For any Lie bialgebroid $(A,A^{*})$ over $M$ (a notion defined by Mackenzie and Xu), there is a natural Courant algebroid structure on $A\oplus A^{*}$ which is the Drinfel'd double of a Lie bialgebra when $M$ is a point. Conversely, if $A$ and $A^*$ are complementary isotropic subbundles of a Courant algebroid $E$, closed under the bracket (such a bundle, with dimension half that of $E$, is called a Dirac structure), there is a natural Lie bialgebroid structure on $(A,A^{*})$ whose double is isomorphic to $E$. The theory of Manin triples is thereby extended from Lie algebras to Lie algebroids. Our work gives a new approach to bihamiltonian structures and a new way of combining two Poisson structures to obtain a third one. We also take some tentative steps toward generalizing Drinfel'd's theory of Poisson homogeneous spaces from groups to groupoids.

研究动机与目标

• 将李代数的 Manin 三元组理论从李代数推广到李代数丛。
• 在李双代数丛与柯朗代数丛中的 Dirac 结构之间建立对应关系。
• 为理解双哈密顿结构和泊松群胚作用提供几何框架。
• 将 Drinfel'd 关于泊松齐性空间的理论从群推广到群胚。
• 形式化李代数丛与其对偶直和上的括号结构，推广 Courant 的括号。

提出的方法

• 将柯朗代数丛定义为流形 M 上的向量丛 E，配备一个截面上的括号、一个丛映射 E → TM，以及一个对称双线性型。
• 引入 Dirac 结构的概念，即柯朗代数丛中满足拉格朗日性、迷向性与对合性的子丛。
• 将李双代数丛 (A, A*) 的 Drinfel'd 双重构造为直和 A ⊕ A*，并赋予其自然的柯朗代数丛结构。
• 证明 A ⊕ A* 上的括号满足雅可比恒等式，其修正项由余切映射与配对确定。
• 证明柯朗代数丛 E 中的任意 Dirac 结构都会在其迷向补从丛上诱导出李双代数丛结构。
• 利用括号与配对的相容性，将经典 Manin 三元组构造推广至李代数丛设定。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将李代数的 Manin 三元组经典理论推广至李代数丛？
• RQ2 在 A ⊕ A* 上何种结构对应于李双代数丛 (A, A*)？
• RQ3 在何种条件下，柯朗代数丛中的 Dirac 结构会诱导出李双代数丛结构？
• RQ4 柯朗代数丛上 A ⊕ A* 的括号如何推广李双代数的 Drinfel'd 双重上的括号？
• RQ5 能否利用该框架将泊松齐性空间的理论从群推广到群胚？

主要发现

• 李双代数丛 (A, A*) 的直和 A ⊕ A* 自然地携带一个柯朗代数丛结构，推广了李双代数的 Drinfel'd 双重。
• 柯朗代数丛 E 中的 Dirac 结构等价于 E 中一对迷向且互补的子丛上的李双代数丛结构。
• A ⊕ A* 上的括号满足雅可比恒等式，其修正项通过余切映射与对称配对表达。
• 当 M 为一点时，该构造退化为具有不变的非退化对称双线性型的李代数的经典 Manin 三元组。
• 该框架提供了一种新方法，通过柯朗代数丛组合两个泊松结构来构造双哈密顿结构。
• 该理论允许将泊松齐性空间的理论从李群推广到李群胚，扩展了 Drinfel'd 的框架。