[论文解读] Ehressman Semigroups Whose Categories are EI and Their Representation Theory

Stuart Margolis, Itamar Stein|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

semigroups and automata theory参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文研究有限右（左）限制Ehresmann半群，其关联的Ehresmann范畴为EI-范畴——即每个自同态均为同构。研究结果表明，其半群代数在任意域上的单模均由其极大子群的不可约表示通过诱导Schur-Zenberger模构造而成；在良好特征的域上，不可约分解的投射模则通过广义Green关系构造。此外，该研究证明此类半群构成一个伪variety，并为部分变换半群PT_n的复表示理论提供了显式的维数公式与Cartan矩阵元素。

ABSTRACT

We study simple and projective modules of a certain class of Ehresmann semigroups, a well-studied generalization of inverse semigroups. Let S be a finite right (left) restriction Ehresmann semigroup whose corresponding Ehresmann category is an EI-category, that is, every endomorphism is an isomorphism. We prove that the simple modules of the semigroup algebra over any field are induced Schutzenberger modules of the irreducible modules of the maximal subgroups of S. Moreover, we show that over fields with good characteristic the indecomposable projective modules can be described in a similar way but using generalized Green's relations instead of the standard ones. We show that the collection of finite Ehresmann semigroups whose categories are EI is a pseudovariety and we show in the infinite case, that the collection of Ehresmann semigroups whose categories have endomorphism monoids each having one idempotent is a quasivariety. As a natural example we consider the monoid PT_n of all partial functions on an n-set. Over the field of complex numbers, we give a natural description of its indecomposable projective modules and obtain a formula for their dimension. Moreover, we find certain zero entries in its Cartan matrix.

研究动机与目标

• 理解有限右（左）限制Ehresmann半群的半群代数上单模与投射模的结构，其关联范畴为EI-范畴。
• 刻画此类半群在任意域上的表示理论，尤其关注良好特征的情形。
• 证明有限Ehresmann半群中其范畴为EI-范畴的类构成一个伪variety。
• 为复数域上的部分变换半群PT_n提供不可约分解投射模的自然描述，并计算其维数。
• 确定PT_n的Cartan矩阵中的某些零元素。

提出的方法

• 基于极大子群的不可约表示，使用诱导Schur-Zenberger模来描述半群代数的单模。
• 在良好特征下，应用广义Green关系来描述不可约分解投射模。
• 对Ehresmann范畴进行范畴分析，以建立自同态为同构时对半群结构的约束。
• 利用伪variety框架，证明有限Ehresmann半群中其范畴为EI-范畴的类具有封闭性质。
• 通过ℂ上的表示论技术，显式计算PT_n的不可约分解投射模的维数。
• 分析PT_n的Cartan矩阵，基于模结构识别特定零元素。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限右（左）限制Ehresmann半群（其范畴为EI-范畴）的半群代数的单模，如何与该半群极大子群的不可约表示相关联？
• RQ2 在良好特征的域上，此类半群的不可约分解投射模的结构为何？其与标准Green关系有何不同？
• RQ3 有限Ehresmann半群中其范畴为EI-范畴的类是否在某些代数运算下封闭，从而构成一个伪variety？
• RQ4 复数域上部分变换半群PT_n的不可约分解投射模的维数是多少？
• RQ5 ℂ上PT_n的Cartan矩阵中哪些元素为零？这对其模结构有何含义？

主要发现

• 在任意域上，半群代数的单模均由该半群极大子群的不可约表示通过诱导Schur-Zenberger模构造而成。
• 在良好特征的域上，不可约分解投射模通过广义Green关系描述，而非标准Green关系。
• 有限Ehresmann半群中其范畴为EI-范畴的集合构成一个伪variety。
• 对于复数域上的部分变换半群PT_n，不可约分解投射模的维数被显式计算。
• ℂ上PT_n的Cartan矩阵包含某些零元素，这些元素已基于模结构被识别并解释。
• 在无限情况下，其自同态幺半群中每个均只有一个幂等元的Ehresmann半群类构成一个拟variety。