[论文解读] Eigencone, saturation and Horn problems for symplectic and odd orthogonal groups

Prakash Belkale, Shrawan Kumar|ArXiv.org|Aug 2, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文通过利用嵌入到特殊线性群中的方法以及同伦 Grassmannian 上的交集理论，解决了典型群和奇正交群的特征锥、饱和性及 Horn 问题。证明了 Sp(2n) 和 SO(2n+1) 的特征值条件分别与 SL(2n) 和 SL(2n+1) 的条件一致，并通过 θ 除子方法与 Weyl 群不变性，确认了张量积不变量的饱和性。

ABSTRACT

We consider the eigenvalue problem and the associated intersection theory of homogenous spaces for the symplectic and odd orthogonal groups. We solve the Horn and saturation problems for these classical groups.

研究动机与目标

• 解决典型群与奇正交群的特征值问题、Horn 问题及饱和性问题。
• 建立 Sp(2n)/SO(2n+1) 的特征锥与其嵌入 SL(2n)/SL(2n+1) 之间的对应关系。
• 证明在典型群与奇正交群情形下，同伦 Grassmannian 中平移 Schubert 代数簇的交集是适当的。
• 通过从 SL(2n) 与 SL(2n+1) 限制，证明 Sp(2n) 与 SO(2n+1) 的张量积不变量具有饱和性。

提出的方法

• 使用 Belkale（2001）提出的切空间技术，分析同伦 Grassmannian 上的交集理论。
• 利用 Sp(2n) 与 SO(2n+1) 的 Cartan 子代数与 SL(2n) 及 SL(2n+1) 的 Cartan 子代数之间的典范 Weyl 群等变同构。
• 应用 BGG 算子与 Schubert 基底代表元，关联 Sp(2n) 与 SO(2n+1) 的旗流形上上同调环。
• 在同伦旗流形的积中构造 θ 除子，以实现张量积中的不变量。
• 结合 Knutson-Tao 饱和定理与几何方法，证明 Sp(2n) 与 SO(2n+1) 的饱和性。
• 建立 H*(Sp(2n)/B^C) 与 H*(SO(2n+1)/B^B) 中 Schubert 类代表元之间的缩放关系，表明 p_w^C = 2^{n−μ(w)} p_w^B。

实验结果

研究问题

• RQ1 Sp(2n) 与 SO(2n+1) 的特征锥条件是否分别与 SL(2n) 与 SL(2n+1) 的条件一致？
• RQ2 对于一般同伦旗，同伦 Grassmannian OG^+(r,2r) 中平移 Schubert 代数簇的交集是否适当？
• RQ3 当从 SL(2n) 与 SL(2n+1) 限制时，Sp(2n) 与 SO(2n+1) 的张量积不变量是否满足饱和性？
• RQ4 通过 Weyl 群作用，Sp(2n)/B^C 与 SO(2n+1)/B^B 的上同调环中 Schubert 基底类之间有何关系？
• RQ5 Sp(2n)/B^C 与 SO(2n+1)/B^B 的上同调中，Schubert 类代表元之间的精确缩放因子是什么？

主要发现

• 对于 h₁,…,hₛ ∈ ℎ₊^Sp(2n)，有 (h₁,…,hₛ) ∈ Γ(s, Sp(2n)) 当且仅当 (h₁,…,hₛ) ∈ Γ(s, SU(2n))。
• 对于 h₁,…,hₛ ∈ ℎ₊^SO(2n+1)，有 (h₁,…,hₛ) ∈ Γ(s, SO(2n+1)) 当且仅当 (h₁,…,hₛ) ∈ Γ(s, SU(2n+1))。
• 在一般同伦旗下，OG^+(r,2r) 中 s 个平移 Schubert 代数簇的交集是适当的，这一结果在 SO(2n) 情形下不成立。
• Sp(2n) 的张量积不变量是饱和的：若不可约 SL(2n)-表示具有非零 SL(2n)-不变量，则其在 Sp(2n) 上的限制也具有非零 Sp(2n)-不变量。
• 类似地，对于 SO(2n+1)：若 SL(2n+1)-表示具有非零 SL(2n+1)-不变量，则其在 SO(2n+1) 上的限制也具有非零 SO(2n+1)-不变量。
• 上同调代数同构 φ 满足 φ([Λ̄_w(B)]) = 2^{μ(w)−n} [Λ̄_w(C)]，其中 μ(w) 表示在 w 的约化分解中 sₙ 出现的次数。