[论文解读] Comparing tamed and compatible symplectic cones and cohomological properties of almost complex manifolds

Tianjun Li, Weiyi Zhang|ArXiv.org|Aug 19, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文引入了上同调不变量——$H^{1,1}_J(M)_{\mathbb{R}}$ 和 $H^{(2,0),(0,2)}_J(M)_{\mathbb{R}}$——用于几乎复结构，以比较 $J$-张弛与 $J$-相容的辛锥。证明了对于 $C^\infty$ 完全的几乎复结构，张弛锥等于相容锥加上一个特定的上同调子群，从而解决了四维情形下唐纳森问题的关键情况。

ABSTRACT

We introduce certain homology and cohomology subgroups for any almost complex structure and study their pureness, fullness and duality properties. Motivated by a question of Donaldson, we use these groups to relate J-tamed symplectic cones and J-compatible symplectic cones over a large class of almost complex manifolds, including all Kahler manifolds, almost Kahler 4-manifolds and complex surfaces.

研究动机与目标

• 为解决唐纳森关于四维流形上 $J$-张弛辛形式是否在同调类中存在 $J$-相容代表的问题。
• 定义并研究与 Dolbeault 上同调类似的实上同调子群 $H^{1,1}_J(M)_{\mathbb{R}}$ 和 $H^{(2,0),(0,2)}_J(M)_{\mathbb{R}}$，作为非可积几乎复结构的推广。
• 刻画这些子群在何时能对 $H^2(M;\mathbb{R})$ 和 $H_2(M;\mathbb{R})$ 产生直和分解，并引入 $C^\infty$ 纯与完全结构的概念。
• 建立这些上同调子群与 $J$-张弛和 $J$-相容辛锥之间结构关系。
• 研究固定四维流形上所有复结构下的可积张弛与相容辛锥，尤其关注凯勒与非凯勒曲面的情形。

提出的方法

• 引入 $H^{1,1}_J(M)_{\mathbb{R}}$ 和 $H^{(2,0),(0,2)}_J(M)_{\mathbb{R}}$ 作为与几乎复结构 $J$ 相关的实上同调子群，推广 Dolbeault 上同调。
• 定义 $C^\infty$ 纯与完全结构，即这些子群分别对 $H^2(M;\mathbb{R})$ 和 $H_2(M;\mathbb{R})$ 产生直和分解。
• 利用 [30] 和 [17] 的技术证明：若 $J$ 是 $C^\infty$ 完全且 $\mathcal{K}_J^c \neq \emptyset$，则 $\mathcal{K}_J^t = \mathcal{K}_J^c + H_J^{(2,0),(0,2)}(M)_{\mathbb{R}}$。
• 将结果应用于凯勒流形和几乎凯勒四维流形，证明在可积情形下 $H_J^{(2,0),(0,2)}(M)_{\mathbb{R}}$ 同构于 $H_{\bar{\partial}}^{2,0}(M) \oplus H_{\bar{\partial}}^{0,2}(M)$。
• 分析固定四维流形 $M$ 上所有复结构下的可积张弛与相容辛锥 $\mathcal{K}_{\text{Int}}^t(M)$ 和 $\mathcal{K}_{\text{Int}}^c(M)$，特别关注一般型曲面。
• 运用 Hodge-Riemann 双线性关系与形变论证，证明当 $p_g > 0$ 且 $n=2$ 时，在 $\beta$ 满足特定条件下，有严格包含关系 $\mathcal{K}_{\text{Int}}^c(M,e) \subsetneq \mathcal{K}_{\text{Int}}^t(M,e)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 四维流形上任意 $J$-张弛辛形式是否在同调类中存在 $J$-相容代表？这是唐纳森提出的问题。
• RQ2 当 $J$ 非可积时，$J$-张弛与 $J$-相容辛锥是否可通过上同调不变量关联？
• RQ3 对于哪些几乎复结构 $J$，上同调子群 $H^{1,1}_J(M)_{\mathbb{R}}$ 与 $H^{(2,0),(0,2)}_J(M)_{\mathbb{R}}$ 构成 $H^2(M;\mathbb{R})$ 的直和分解？
• RQ4 对于 $p_g \geq 1$ 的一般型复曲面，可积张弛锥是否严格大于可积相容锥？
• RQ5 在何种条件下，对固定次数为 2 的类 $e$，有 $\mathcal{K}_{\text{Int}}^c(M,e) \subsetneq \mathcal{K}_{\text{Int}}^t(M,e)$ 成立？

主要发现

• 对任意 $C^\infty$ 完全的几乎复结构 $J$，若 $J$-相容锥 $\mathcal{K}_J^c$ 非空，则 $J$-张弛锥满足 $\mathcal{K}_J^t = \mathcal{K}_J^c + H_J^{(2,0),(0,2)}(M)_{\mathbb{R}}$。
• 在凯勒流形情形下，$H_J^{(2,0),(0,2)}(M)_{\mathbb{R}}$ 同构于 $H_{\bar{\partial}}^{2,0}(M) \oplus H_{\bar{\partial}}^{0,2}(M)$，与经典 Dolbeault 理论一致。
• 对 $b^+ = 1$ 的四维流形，群 $H_J^{(2,0),(0,2)}(M)_{\mathbb{R}}$ 平凡，因此当 $\mathcal{K}_J^c \neq \emptyset$ 时，有 $\mathcal{K}_J^t = \mathcal{K}_J^c$。
• 对 $p_g \geq 1$ 的一般型复曲面，可积张弛锥 $\mathcal{K}_{\text{Int}}^t(M)$ 严格大于可积相容锥 $\mathcal{K}_{\text{Int}}^c(M)$，支持了猜想 4.12。
• 当 $n=2$ 时，若 $p_g > 0$，$e$ 为典范类，且 $\beta$ 为非零的 $(2,0)+(0,2)$-型微分形式，且 $|t|$ 较大或非零极小，则 $\mathcal{K}_{\text{Int}}^c(M,e) \subsetneq \mathcal{K}_{\text{Int}}^t(M,e)$ 成立。
• 在 $\mathbb{P}(E)$ 上存在张弛但非相容的辛形式（其中 $c_1(E)=0$ 且 $c_5(E) = m\lambda$），表明 $\mathbb{P}(E)$ 是非凯勒的，但存在张弛辛结构，从而说明张弛与相容锥之间存在差距。