[论文解读] Eigencones and the PRV conjecture

Nicolas Ressayre|ArXiv.org|Oct 5, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用 4

一句话总结

该论文证明了复半单单连通李群 G 的不可约表示张量积的上同调分量恰好是具有稳定重数一的 PRV 分量，通过 Eigencone 建立了几何刻画。该研究解决了 Dimitrov 和 Roth 的一个猜想，表明三个自然推广的 PRV 条件完全一致：上同调分量、具有稳定重数一的 PRV 分量，以及 LR 锥中的正则极值点。

ABSTRACT

Let $G$ be a complex semisimple simply connected algebraic group. Given two irreducible representations $V_1$ and $V_2$ of $G$, we are interested in some components of $V_1\otimes V_2$. Consider two geometric realizations of $V_1$ and $V_2$ using the Borel-Weil-Bott theorem. Namely, for $i=1, 2$, let $\Li_i$ be a $G$-linearized line bundle on $G/B$ such that ${ m H}^{q_i}(G/B,\Li_i)$ is isomorphic to $V_i$. Assume that the cup product $$ { m H}^{q_1}(G/B,\Li_1)\otimes { m H}^{q_2}(G/B,\Li_2)\longto { m H}^{q_1+q_2}(G/B,\Li_1\otimes\Li_2) $$ is non zero. Then, ${ m H}^{q_1+q_2}(G/B,\Li_1\otimes\Li_2)$ is an irreducible component of $V_1\otimes V_2$; such a component is said to be {\it cohomological}. Solving a Dimitrov-Roth conjecture, we prove here that the cohomological components of $V_1\otimes V_2$ are exactly the PRV components of stable multiplicity one. Note that Dimitrov-Roth already obtained some particular cases. We also characterize these components in terms of the geometry of the Eigencone of $G$. Along the way, we prove that the structure coefficients of the Belkale-Kumar product on ${ m H}^*(G/B,\ZZ)$ in the Schubert basis are zero or one.

研究动机与目标

• 解决 Dimitrov 和 Roth 在表示论中关于 PRV 条件三种推广等价性的猜想。
• 通过 Borel-Weil-Bott 定理的几何实现，刻画张量积不可约表示的上同调分量。
• 建立具有稳定重数一的 PRV 猜想与 G 的 Eigencone 几何之间的精确联系。
• 证明 Belkale-Kumar 乘积在 H*(G/B, Z) 上的 Schubert 基下的结构系数为 0 或 1。

提出的方法

• 通过旗流形 G/B 上线丛的上同调实现不可约表示的几何实现，应用 Borel-Weil-Bott 定理。
• 通过层上同调中非零上积定义上同调分量：H^q1(G/B, L1) ⊗ H^q2(G/B, L2) → H^q1+q2(G/B, L1⊗L2)。
• 应用良覆盖对 (C, λ) 的概念，并利用矩映射分析几何不变量理论中轨道与稳定子群。
• 利用 Weyl 群及其对权的扭曲作用 (·) 定义上同调分量，条件为 u·λ + v·μ = w·ν 且 l(w) = l(u) + l(v)。
• 利用 G 的 Eigencone 刻画主导权三元组 (λ, μ, ν) 的三类等价类，通过凸几何与面结构。
• 利用 LR 锥的结构及其正则面的结果，证明最小正则面（维数为 2r）上的正则极值点恰好对应于其他两类。

实验结果

研究问题

• RQ1 Vλ ⊗ Vμ 的上同调分量是否与具有稳定重数一的 PRV 分量一致？
• RQ2 能否通过 G 的 Eigencone 对具有稳定重数一的 PRV 分量进行几何刻画？
• RQ3 是否可以证明 PRV 条件的三种自然推广——上同调分量、具有稳定重数一的 PRV 分量以及正则极值点——完全等价？
• RQ4 Belkale-Kumar 乘积在 H*(G/B, Z) 上的 Schubert 基下的结构系数是什么？

主要发现

• 对于任意复半单单连通李群 G，三类分量——上同调分量、具有稳定重数一的 PRV 分量，以及 LR 锥中的正则极值点——完全等价。
• Vλ ⊗ Vμ 的上同调分量恰好是 G/B 上层上同调中非零上积所生成的不可约分量。
• Belkale-Kumar 乘积在 H*(G/B, Z) 上的 Schubert 基下的结构系数为 0 或 1。
• LR 锥的最小正则面维数为 2r，其中 r 为 G 的秩，且正则极值点位于此类面上。
• 证明表明，对于良覆盖对 (C, λ)，其半稳定集内唯一的闭 G^λ-轨道是点 z，从而推出 G_z = G^λ。
• 通过在良覆盖对 (C, λ) 上进行扰动，构造出具有相同 LR 锥面的正则一参数子群 λ'，从而证明三者条件的等价性。