[论文解读] Eigenvalue and Dirichlet problem for fully-nonlinear operators in non smooth domains

Isabeau Birindelli, Françoise Demengel|ArXiv.org|Mar 26, 2008

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 18被引用 22

一句话总结

本文在仅满足一致外锥条件的有界区域中，建立了完全非线性、奇异/退化椭圆型算子的特征值及狄利克雷问题解的存在性。通过利用锥条件构造屏障函数并结合黏性解技术，证明了正特征函数的存在性，并表明通过光滑区域定义的特征值 $\lambda_e$ 等于使正上解存在的 $\lambda$ 的上确界，从而确保了最大值原理对 $\lambda < \u03bb_e$ 成立，并保证了狄利克雷问题的可解性。其关键贡献在于，通过几何屏障方法而非依赖 $C^2$ 边界正则性，将特征值理论推广至非光滑区域。

ABSTRACT

In this paper we study the maximum principle, the existence of eigenvalue and the existence of solution for the Dirichlet problem for operators which are fully-nonlinear, elliptic but presenting some singularity or degeneracy which are similar to those of the p-Laplacian, the novelty resides in the fact that we consider the equations in bounded domains which only satisfy the exterior cone condition.

研究动机与目标

• 将完全非线性、奇异/退化椭圆型算子的主特征值与狄利克雷问题理论推广至仅满足一致外锥条件的区域，而非要求 $C^2$ 边界。
• 在这些非光滑区域中建立正特征函数与良定义特征值 $\lambda_e$ 的存在性。
• 证明 $\lambda_e = \tilde{\lambda}$，其中 $\tilde{\lambda}$ 是使在 $\overline{\Omega}$ 中存在正上解的 $\lambda$ 的上确界，从而将特征值与最大值原理条件联系起来。
• 证明对所有 $\lambda < \u03bb_e$，最大值原理成立，且当右端项为负时，狄利克雷问题可解。

提出的方法

• 利用一致外锥条件构造屏障函数 $u_o$，替代先前工作中依赖的 $C^2$ 边界正则性。
• 将特征值 $\bar{\lambda}(\Omega)$ 定义为使不等式 $F[u] + h\cdot\nabla u|\nabla u|^\alpha + (V+\lambda)u^{1+\alpha} \leq 0$ 存在正上解的 $\lambda$ 的上确界。
• 引入 $\lambda_e = \sup\{\lambda(\Omega') \mid \Omega \subset\subset \Omega' \text{ 为正则有界区域}\}$，通过光滑区域逼近来定义特征值。
• 将 $\tilde{\lambda}$ 定义为使在 $\overline{\Omega}$ 中存在正上解的 $\lambda$ 的上确界，并通过紧致性与黏性解收敛性证明 $\lambda_e = \tilde{\lambda}$。
• 利用黏性解理论与比较原理，证明当 $\lambda < \lambda_e$ 时，狄利克雷问题（$f \leq 0$）存在解，且解具有 Hölder 正则性。
• 应用一致 Hölder 估计与屏障构造，提取出极限解 $\phi_e > 0$ 在 $\Omega$ 中成立，且在 $\partial\Omega$ 上消失，满足以 $\lambda_e$ 为参数的特征值方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在仅满足一致外锥条件、而无 $C^2$ 边界正则性的区域中，为完全非线性、奇异/退化算子定义主特征值与狄利克雷问题，并求解？
• RQ2 通过光滑区域逼近定义的特征值 $\lambda_e$ 是否等于使在 $\overline{\Omega}$ 中存在正上解的 $\lambda$ 的上确界 $\tilde{\lambda}$？
• RQ3 当区域仅满足锥条件时，最大值原理是否对 $\lambda < \bar{\lambda}(\Omega)$ 成立？这是否等价于 $\lambda_e = \bar{\lambda}(\Omega)$？
• RQ4 当区域非光滑时，能否求解 $\lambda < \lambda_e$ 的狄利克雷问题？解是否为正且具有 Hölder 连续性？
• RQ5 特征值 $\lambda_e$ 与在 $\partial\Omega$ 上消失的正特征函数 $\phi_e$ 的存在性之间有何关系？

主要发现

• 通过正则区域 $\Omega'$ 包含 $\Omega$ 的方式定义的特征值 $\lambda_e$（即 $\lambda_e = \sup\{\lambda(\Omega') \mid \Omega \subset\subset \Omega' \text{ 正则有界}\}$）等于 $\tilde{\lambda}$，即使在 $\overline{\Omega}$ 中存在正上解的 $\lambda$ 的上确界，从而证明了 $\lambda_e = \tilde{\lambda}$。
• 在 $\Omega$ 中存在一个正特征函数 $\phi_e > 0$，满足方程 $F[\phi_e] + h\cdot\nabla\phi_e|\nabla\phi_e|^\alpha + (V + \lambda_e)\phi_e^{1+\alpha} = 0$ 在 $\Omega$ 内成立，且在 $\partial\Omega$ 上消失，确认了在非光滑区域中主特征函数的存在性。
• 对所有 $\lambda < \lambda_e$，最大值原理成立；对任意连续函数 $f \leq 0$，狄利克雷问题 $F[u] + h\cdot\nabla u|\nabla u|^\alpha + (V + \lambda)u^{1+\alpha} = f$ 在 $\Omega$ 中，$u = 0$ 在 $\partial\Omega$ 上，存在一个非负的黏性解 $u$，且该解为 $\gamma$-Hölder 连续。
• 通过迭代构造的解序列 $u_n$ 是递增的，且有界于 $Cu_o$，其中 $u_o$ 为屏障函数，因此通过 Hölder 正则性与紧致性保证了收敛至解。
• 定义为使正上解存在的 $\lambda$ 的上确界的值 $\bar{\lambda}(\Omega)$ 满足 $\lambda_e \leq \bar{\lambda}(\Omega)$，当 $\Omega$ 为光滑区域时取等号，但对仅满足锥条件的区域，该等式仍为开放问题。
• 最大值原理对 $\lambda < \bar{\lambda}(\Omega)$ 成立，等价于 $\lambda_e = \bar{\lambda}(\Omega)$，也等价于对所有 $\lambda < \bar{\lambda}(\Omega)$，狄利克雷问题可解。