[论文解读] Eight classes of new Hopf algebras of dimension $128$ without the Chevalley property

Naihong Hu, Rongquan Xiong|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文利用广义提升法，在特征为零的代数闭域上，对八类新的 128 维有限维霍普夫代数进行了分类，其余根基为一个非切瓦莱霍普夫代数（维数为 16），且其无穷小辫子结构为简单雅特-德林费尔德模，从而得到了超出经典点状霍普夫代数框架的新例子。

ABSTRACT

Classifying Hopf algebras of a given dimension is a hard and open question. Using the generalized lifting method, we determine all finite-dimensional Hopf algebras over an algebraically closed field of characteristic zero whose coradical generates a Hopf algebra $H$ of dimension $16$ without the Chevalley property and the corresponding infinitesimal braidings are simple objects in $\HYD$. In particular, we figure out $8$ classes of new Hopf algebras of dimension $128$ without the Chevalley property.

研究动机与目标

• 对特征为零的代数闭域上不满足切瓦莱性质的 128 维有限维霍普夫代数进行分类。
• 通过使用标准滤链而非余根基滤链，将广义提升法推广至余根基滤链非霍普夫代数滤链的霍普夫代数。
• 确定所有无穷小辫子结构为 16 维非切瓦莱霍普夫代数 H 的雅特-德林费尔德范畴中简单对象的此类霍普夫代数。
• 从此类简单辫子向量空间的尼基尔斯代数出发，构造并分类新的霍普夫代数族。
• 证明在给定约束下，所有关于 H 的有限维霍普夫代数均由标准滤链的第一项生成，从而完成分类。

提出的方法

• 使用标准滤链 {A_{[n]}} 而非余根基滤链，应用广义提升法，因为当切瓦莱性质不成立时，余根基滤链并非霍普夫代数滤链。
• 递归定义标准滤链：A_{[0]} 为由余根基 A_0 生成的子代数，且对 n ≥ 1，有 A_{[n]} = A_{[n-1]} owedge A_{[0]}。
• 利用拉德福德定理将关联的分次霍普夫代数分解为 gr A ≅ R ⋊ H，其中 R 是雅特-德林费尔德范畴 {}^H_H\mathcal{YD} 中的辫子霍普夫代数，H 是 16 维的余根基霍普夫代数。
• 识别无穷小辫子 R(1) = P(R)，其为 {}^H_H\mathcal{YD} 中的简单对象，并对所有具有有限维尼基尔斯代数 B(V) 的此类辫子向量空间 V 进行分类。
• 显式计算群化代数 B(V) ⋊ H 中的关系，包括生成元 a, b, c, d, x, y 之间的关系及其关于 Δ(x)、Δ(y) 和单项式 Δ 的余乘法。
• 利用上同调与代数约束（例如 Δ(x^4) = x^4 ⊗ 1 + 1 ⊗ x^4）推导出必要关系如 x^4 = 0，并通过标准滤链验证所得代数确为霍普夫代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征为零的代数闭域上，哪些 128 维有限维霍普夫代数不满足切瓦莱性质，且可通过广义提升法进行分类？
• RQ2 当余根基滤链非霍普夫代数滤链时，如何通过使用标准滤链将广义提升法适配于此类霍普夫代数？
• RQ3 在 16 维非切瓦莱霍普夫代数 H 上，所有无穷小辫子结构为 {}^H_H\mathcal{YD} 中简单对象的有限维霍普夫代数的完整族是什么？
• RQ4 当 H 非群代数时，此类简单辫子向量空间上的尼基尔斯代数的群化代数中，显式关系与余乘法结构如何？
• RQ5 所得霍普夫代数是否两两不构同？在给定约束下，它们是否穷尽了所有此类关于 H 的有限维霍普夫代数？

主要发现

• 本文构造了八类新的 128 维有限维霍普夫代数，其不满足切瓦莱性质，且源于一个 16 维的非切瓦莱霍普夫代数 H。
• 这些霍普夫代数被分类为 {}^H_H\mathcal{YD} 中简单无穷小辫子 V 的提升，具体为 V 同构于 V_{i,j,k,ι}，其中 (i,j,k,ι) ∈ Λ^5 ∪ Λ^6。
• 对每个此类 V，所得霍普夫代数同构于 Λ^5(μ) 或 Λ^6(μ)，具体取决于参数，且生成元 a, b, c, d, x, y 之间有显式关系。
• 关系包括 a^4 = 1, d^4 = 1, b^2 = c^2 = 0, a^2 d^2 = 1, ad = da, bc = cb = 0，以及涉及 ξ 和 λ_i 参数的非平凡辫子交换关系。
• 余乘法被显式计算，其中 Δ(x) 和 Δ(y) 涉及 da^{j-1} ⊗ x 和 a^j ⊗ y 等项，且条件 Δ(x^4) = x^4 ⊗ 1 + 1 ⊗ x^4 强制在代数中有 x^4 = 0。
• 所得霍普夫代数两两不构同，因为其无穷小辫子作为 H 上的雅特-德林费尔德模两两不构同。