[论文解读] Einstein-Weyl structures on complex manifolds and conformal version of Monge-Ampere equation

Liviu Ornea, Misha Verbitsky|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文通过证明此类结构由其体积形式和Lee类唯一确定，建立了紧复流形上Hermitian爱因斯坦-Weyl结构在全纯自同构下的唯一性。本文引入了复Monge-Ampère方程的共形类比，并证明其解唯一，将Calabi定理由局部共形凯勒几何推广。

ABSTRACT

A Hermitian Einstein-Weyl manifold is a complex manifold admitting a Ricci-flat Kaehler covering W, with the deck transform acting on W by homotheties. If compact, it admits a canonical Vaisman metric, due to Gauduchon. We show that a Hermitian Einstein-Weyl structure on a compact complex manifold is determined by its volume form. This result is a conformal analogue of Calabi's theorem stating the uniqueness of Kaehler metrics with a given volume form in a given Kaehler class. We prove that a solution of a conformal version of complex Monge-Ampere equation is unique. We conjecture that a Hermitian Einstein-Weyl structure on a compact complex manifold is unique, up to a holomorphic automorphism, and compare this conjecture to Bando-Mabuchi theorem.

研究动机与目标

• 建立紧复流形上Hermitian爱因斯坦-Weyl结构的唯一性，类比于Calabi对凯勒-爱因斯坦度量的唯一性结果。
• 在局部共形凯勒（LCK）流形上提出并证明共形复Monge-Ampère方程解的唯一性。
• 在爱因斯坦-Weyl几何背景下，研究Bando-Mabuchi定理的共形类比。
• 通过流形的凯勒覆盖，探讨爱因斯坦-Weyl结构、Vaisman流形与Sasakian几何之间的关系。
• 推测紧复流形上的爱因斯坦-Weyl结构在全纯自同构下唯一，推广了凯勒-爱因斯坦唯一性结果。

提出的方法

• 将Hermitian爱因斯坦-Weyl流形定义为存在一个Ricci平坦凯勒覆盖的复流形，且单值群作用由全纯位似变换实现。
• 在紧致LCK流形上，使用Gauduchon度量作为共形类中度量的典范代表。
• 将共形Monge-Ampère方程表述为：在固定Lee类下，寻找具有预设体积形式的Gauduchon度量。
• 利用上同调论证和权重丛$L_{\mathbb{C}}$的性质，证明该共形Monge-Ampère方程解的唯一性。
• 通过同构$L_{\mathbb{C}}^{n} \cong K^{-1}$将爱因斯坦-Weyl条件与canonical丛联系起来，其中$K$为canonical丛。
• 在覆盖空间上分析横截Monge-Ampère方程，表明条件$\widetilde{\omega}_1^n = \lambda \widetilde{\omega}_2^n$导致$\varepsilon = 1$的Aubin-Calabi-Yau方程的共形类比。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致Vaisman流形上，对于给定的体积形式和Lee类，共形Monge-Ampère方程的解是否唯一？
• RQ2 能否在类似于凯勒几何中Bando-Mabuchi定理的框架下，建立紧复流形上爱因斯坦-Weyl结构在全纯自同构下的唯一性？
• RQ3 在爱因斯坦-Weyl结构背景下，凯勒覆盖的典范丛与权重丛之间有何关系？
• RQ4 Calabi-Yau定理在局部共形凯勒流形的共形设定下，能在多大程度上推广？
• RQ5 爱因斯坦-Weyl结构与关联Fano基底上的凯勒-爱因斯坦度量之间的确切关系是什么？

主要发现

• 紧复流形上的Hermitian爱因斯坦-Weyl结构由其体积形式和Lee类唯一确定，将Calabi的唯一性定理推广至共形设定。
• 在紧致Vaisman流形上，若固定Lee类和体积形式，则共形Monge-Ampère方程的解唯一。
• Hermitian爱因斯坦-Weyl流形的凯勒覆盖$\widetilde{M}$是Ricci平坦的，并存在一个在单值作用下等变的处处非零全纯体积形式。
• 对于爱因斯坦-Weyl LCK流形，同构$L_{\mathbb{C}}^{n} \cong K^{-1}$成立，其中$L_{\mathbb{C}}$为复化权重丛，$K$为canonical丛。
• 在覆盖空间上，爱因斯坦-Weyl条件导出形式为$\log\left(\frac{\det(\eta - dd^c\psi)}{\det\eta}\right) = \psi + \text{const}$的横截Monge-Ampère方程，其中$\varepsilon = 1$，这是Aubin-Calabi-Yau方程的共形类比。
• 爱因斯坦-Weyl结构在全纯自同构下唯一的猜想，意味着Bando-Mabuchi定理成立，如通过在某些流形上建立爱因斯坦-Weyl结构与Fano流形上凯勒-爱因斯坦度量之间的对应关系所示。