[论文解读] Ekedahl-Oort strata and Kottwitz-Rapoport strata

Ulrich Goertz, Maarten Hoeve|ArXiv.org|Aug 19, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文在正特征模空间中建立了埃克达勒-奥尔特层与科特维茨-拉波波特层之间的深层几何对应关系。证明了每个埃克达勒-奥尔特层都同构于一个抛物型科特维茨-拉波波特层，并表明在自然投影下，其与德利涅-卢斯蒂格簇的同构关系保持一致，从而统一了此前两种独立描述的超奇异点集的方式。

ABSTRACT

We study the moduli space A_g of g-dimensional principally polarized abelian varieties in positive characteristic, and its variant A_I with Iwahori level structure. Both supersingular Ekedahl-Oort strata and supersingular Kottwitz-Rapoport strata are isomorphic to disjoint unions of Deligne-Lusztig varieties (see [Hoeve 2008] and [Goertz, Yu 2008], resp.). Here we compare these isomorphisms. We also give an explicit description of Kottwitz-Rapoport strata contained in the supersingular locus in the general parahoric case. Finally, we show that every Ekedahl-Oort stratum is isomorphic to a parahoric Kottwitz-Rapoport stratum.

研究动机与目标

• 比较有限域上阿贝尔簇模空间中超奇异埃克达勒-奥尔特层与科特维茨-拉波波特层的几何结构。
• 澄清两种已知的将超奇异层描述为德利涅-卢斯蒂格簇并集的相互关系。
• 将科特维茨-拉波波特层在超奇异点集中的描述推广至一般抛物型水平结构情形。
• 证明每个埃克达勒-奥尔特层均可实现为一个抛物型科特维茨-拉波波特层，从而统一两种分层结构。

提出的方法

• 使用主极化阿贝尔簇模空间 $\mathcal{A}_g$ 及其在 $p$ 处具有抛物型水平结构的变体 $\mathcal{A}_J$。
• 应用德利涅-卢斯蒂格簇理论，描述超奇异点集中埃克达勒-奥尔特层与科特维茨-拉波波特层的结构。
• 构造自然映射 $\pi_J: \mathcal{A}_J \to \mathcal{A}_g$，并证明其在某些 KR 层上的限制给出与 EO 层的同构。
• 利用 $A[p]$ 上的典范滤子结构，将定义 KR 层的旗结构与埃克达勒-奥尔特层对应起来。
• 通过仿射 Weyl 群中元素的相对位置关系，利用 $V$-作用在 Dieudonné 模上的表现来刻画层结构。
• 运用仿射 Weyl 群中可接受集与双陪集的理论，分析 $\mathcal{A}_y$ 在 $\pi$ 下的像。

实验结果

研究问题

• RQ1 在自然投影 $\pi$ 下，超奇异埃克达勒-奥尔特层与科特维茨-拉波波特层的德利涅-卢斯蒂格描述之间有何关系？
• RQ2 哪些科特维茨-拉波波特层位于超奇异点集中，其几何结构如何？
• RQ3 每个埃克达勒-奥尔特层是否都能在抛物型模空间中实现为一个科特维茨-拉波波特层？
• RQ4 科特维茨-拉波波特层包含于超奇异点集中的精确条件是什么？
• RQ5 KR 层 $\mathcal{A}_y$ 在 $\pi$ 下的像如何与埃克达勒-奥尔特层关联？

主要发现

• 每个埃克达勒-奥尔特层 $\mathrm{EO}_w$ 通过自然投影 $\pi_J: \mathcal{A}_J \to \mathcal{A}_g$ 同构于一个抛物型科特维茨-拉波波特层 $\mathcal{A}_{J,\overline{w\tau}}$。
• 该同构通过将 $\mathrm{EO}_w$ 中每一点映射到其典范滤子 $\mathcal{F}_\bullet^{\rm can}$ 实现，该滤子定义了相应的 KR 层。
• 在投影 $\mathcal{A}_{I,w\tau} \to \mathrm{EO}_w$ 下，超奇异 KR 层与 EO 层作为德利涅-卢斯蒂格簇并集的描述是一致的，如定理 3.4 所示。
• 科特维茨-拉波波特层包含于超奇异点集中当且仅当其为超特殊层，此时它同构于德利涅-卢斯蒂格簇的不相交并集。
• 当 $w$ 为终末元且 $J$ 为典范滤子的类型时，映射 $\pi_J$ 限制为同构 $\mathcal{A}_{J,\overline{w\tau}} \to \mathrm{EO}_w$，其逆映射为取典范滤子。
• 当 $y \in W_J w\tau W_J \cap \mathrm{Adm}(\mu)$ 时，$\mathcal{A}_y$ 在 $\pi$ 下的像是 $\mathrm{EO}_w$，表明所有此类 $y$ 都映射到同一 EO 层。