[论文解读] Elastic instability of black rings at large D

Kentaro Tanabe|arXiv (Cornell University)|May 26, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 26被引用 14

一句话总结

该论文在大D极限下采用$1/\sqrt{D}$展开，解析推导了环形黑洞的准正规模频率，揭示其同时表现出弹性不稳定性和格雷戈里-拉夫拉梅型不稳定性。分析表明，在高维下，细环形黑洞的弹性不稳定性占主导地位，并在环半径趋于无穷的极限下消失，此时加速的黑洞弦对弹性扰动变得稳定。

ABSTRACT

Using the inverse dimensional expansion method we study the elastic instability of black rings found recently in numerical analysis of fully nonlinear dynamical evolutions. In our analysis we should perform 1/D^1/2 expansions, not usual 1/D expansions, of the Einstein equations to capture this elastic instability of D dimensional black rings. By solving the Einstein equations at large D we obtain the effective equations for black rings, and the perturbation analysis of the large D effective equations with 1/D^1/2 expansions yields the formula for quasinormal mode frequencies. From this formula, we find that black rings actually suffer from both elastic and Gregory-Laflamme like instabilities. These instabilities are coupled and appear at the same time as observed in numerical analysis. The elastic instability does disappear at the infinite limit of a ring radius, which implies that the (boosted) black string is stable to elastic perturbations. Furthermore we observe that the Gregory-Laflamme like instability becomes more efficient than the elastic instability even for certain thin black rings in enough higher dimensions.

研究动机与目标

• 为了在五维环形黑洞中，通过解析方法研究此前仅通过数值方法观测到的弹性不稳定性。
• 为克服以往$1/D$展开的局限性，后者未能捕捉到导致弹性不稳定的$m_\Phi = O(1)$模态。
• 将大D有效理论扩展至$1/\sqrt{D}$展开，以描述具有$m_\Phi = O(1)$的扰动，与数值结果一致。
• 确定高维环形黑洞中弹性不稳定性与格雷戈里-拉夫拉梅型不稳定性之间的相对效率。
• 研究在环半径趋于无穷极限下，加速黑洞弦对弹性扰动的稳定性。

提出的方法

• 采用大$D$有效理论研究环形黑洞，使用爱丁顿-芬克尔斯坦坐标系，并采用以$v$为时间、$r$为径向坐标的度规假设。
• 对爱因斯坦方程执行$1/\sqrt{D}$展开，而非标准的$1/D$展开，以捕捉与弹性不稳定性相关的$m_\Phi = O(1)$模态。
• 在$1/\sqrt{D}$的主导阶推导环形黑洞的有效方程，包含$p_v$、$p_z$和$p_\phi$项，其中$\phi = \sqrt{n}\Phi$。
• 围绕$ p_v = 1 $、$ p_z = 0 $、$ p_\phi = \alpha $的静止解，使用$ e^{-i\omega v + ik\Phi} $的模态结构假设分析线性扰动。
• 在$ z=0 $处施加与$ z^\ell $成比例的边界条件，其中$ \ell = 0,1 $，并求解至$ O(1/n^2) $阶的准正规模频率$ \omega $。
• 将结果与加速黑洞弦极限进行比较，确认在$ O(1/n^2) $阶下，该弦对$ \ell > 0 $模态稳定，表明弹性扰动的衰减速率极小。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过包含$1/\sqrt{D}$修正的大D展开，解析捕捉环形黑洞的弹性不稳定性？
• RQ2 在大D极限下，弹性不稳定性与格雷戈里-拉夫拉梅型不稳定性如何耦合？二者在何种D值下同时出现？
• RQ3 在环半径趋于无穷的极限下，加速黑洞弦对弹性扰动的稳定性如何，特别是其稳定性表现？
• RQ4 弹性不稳定性与格雷戈里-拉夫拉梅型不稳定性之间的相对主导性如何随环的厚度和时空维度变化？
• RQ5 $1/\sqrt{D}$展开是否能正确再现环形黑洞的准正规模谱及其与加速黑洞弦的关联？

主要发现

• $1/\sqrt{D}$展开成功捕捉了环形黑洞的弹性不稳定性，而此前的$1/D$展开因该不稳定性具有$m_\Phi = O(1)$特性而未能捕捉到。
• 环形黑洞同时表现出弹性不稳定性与格雷戈里-拉夫拉梅型不稳定性，且在高维下，某些细环形黑洞中弹性不稳定性占主导地位。
• 所推导的准正规模频率公式包含至$O(1/n^2)$阶的项，表明在大D极限下，弹性不稳定的衰减速率为$O(1/n^2)$。
• 在环半径趋于无穷的极限下，弹性不稳定性消失，证实加速黑洞弦对弹性扰动是稳定的。
• 对于某些细环形黑洞，在足够高的维度下，格雷戈里-拉夫拉梅型不稳定性比弹性不稳定性更有效。
• 在$k = O(1)$下对加速黑洞弦的结果确认了其对$\ell > 0$模态在$O(1/n^2)$阶下稳定，与先前$k = O(\sqrt{n})$分析的结果一致。