[论文解读] Electromagnetic Lagrangian on a causal set that resides on edges rather than points

Roman Sverdlov|arXiv (Cornell University)|May 17, 2018

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文通过将拉格朗日密度分配给时序边（事件之间的直接因果联系）而非时空点，对因果集上的电磁场和标量场拉格朗日量进行了重新表述。通过引入有限邻域条件来定义‘邻接边’，该理论在粗粒度意义上实现了局域性，同时保持了洛伦兹不变性，从而解决了先前将拉格朗日量分配给点时固有的非局域性问题。

ABSTRACT

The goal of this paper is to introduce one of the versions of the electromagnetic Lagrangian on a causal set in such a way that would address the non-locality issues inherent to causal set theory. The key idea is that Lagrangian density is assigned to the edges rather than points, and there is a way of defining the concept of "neighboring edges" of a given edge in such a way that each edge has only finitely many neighboring edges which would ultimately allow for the theory to be local. That is to be contrasted with points where every point has infinitely many direct neighbors which is a source of non-locality. The edges are needed in order to define electromagnetic Lagrangian anyway, regardless of the consideration of locality; the novelty of this paper is to assign Lagrangian density to the edges as well. Also, in the other papers edges were both spacelike and timelike, while in this paper they are only timelike. This makes calculations considerably more complicated, but it is crucial in preserving locality since the Lorentz group in a hyperplane perpendicular to the edge is compact only if the edge is timelike.

研究动机与目标

• 为解决因果集理论中的非局域性问题，即由于光锥结构导致某一点有无穷多个因果邻居。
• 在离散时空中发展标量场和规范场理论的局域、洛伦兹不变表述。
• 用基于边的拉格朗日量密度替代基于点的拉格朗日量密度，将时序边作为基本实体。
• 通过定义边之间的有限邻域关系，确保每条边仅有有限数量的相互作用，从而实现局域动力学。
• 证明基于边的拉格朗日量在连续极限下可重现标准场论作用量。

提出的方法

• 将电磁场和标量场拉格朗日量密度分配给时序边（p ≺* q），其中p和q为无中间点的因果连接事件。
• 通过设定满足a ≺ r ≺ c的点r数量的有限上界，来定义‘邻接边’，确保每条边仅有有限多个邻居。
• 将标量场φ表示为两点函数φ(p,q) = (φ(p) + φ(q))/2，避免使用基于点的场值。
• 将作用量表示为所有时序边的求和，拉格朗日量密度由边的因果钻石α(p,q)上场值差导出。
• 在连续极限中，令(p+q)/2 → x^μ 且 (q−p)/τ → v^μ，将边嵌入为世界线切向量。
• 通过组合场值在因果钻石α(p,q)上的时间与空间分量变化贡献，推导出动能项∂μφ∂^μφ，使用对因果钻石的积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖基于点的拉格朗日量密度的前提下，在因果集中构建一个局域且洛伦兹不变的场论？
• RQ2 将拉格朗日量分配给边而非点，是否能消除因某一点拥有无穷多个因果邻居而引发的非局域性问题？
• RQ3 边上的有限邻域结构是否能在保持因果集基本离散性的前提下恢复局域性？
• RQ4 如何从基于边的离散表述中，在连续极限下重现标准场论作用量？
• RQ5 时序边在确保横向超平面上洛伦兹群的紧致性方面起到何种作用？

主要发现

• 基于边的拉格朗日量表述确保每条边仅有有限多个邻接边，从而解决了基于点的表述中固有的非局域性问题。
• 在连续极限下，标量场动能项∂μφ∂^μφ被还原为场值在因果钻石α(p,q)上时间与空间分量变化的线性组合。
• 作用量被表示为所有时序边的求和，拉格朗日量密度由场在边上平均值的平方偏差导出。
• 使用时序边确保了横向超平面上洛伦兹群的紧致性，这对避免偏好参考系并维持局域对称性至关重要。
• 该理论通过用有限边邻域替代点邻域，避免了需要具有无穷多个邻居的泊松分布点，从而实现了物理上可行的离散场论。
• 连续极限将边中点(p+q)/2映射为x^μ，将边向量(q−p)/τ映射为v^μ，表明基于边的拉格朗日量推广了标准L(φ,A^μ;x^μ)至L(φ,A^μ;x^μ,v^μ)。