[论文解读] Elementary proofs of generalized continued fraction formulae for $e$

Zhentao Lu|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2019

History and Theory of Mathematics参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文为数学常数 e 的两种广义连分数表示提供了初等证明，其中一种是广为人知的，另一种则是通过机器学习最近发现的。通过使用连分数收敛子的递推序列，并对闭式表达式进行归纳验证，作者证明了这两种连分数均收敛于 e，展示了利用基础分析与符号计算技术系统性验证此类公式的方法。

ABSTRACT

In this short note we prove two elegant generalized continued fraction formulae $$e= 2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+\cfrac{3}{4+\ddots}}}}$$ and $$e= 3+\cfrac{-1}{4+\cfrac{-2}{5+\cfrac{-3}{6+\cfrac{-4}{7+\ddots}}}}$$ using elementary methods. The first formula is well-known, and the second one is newly-discovered in arXiv:1907.00205 [cs.LG]. We then explore the possibility of automatic verification of such formulae using computer algebra systems (CAS's).

研究动机与目标

• 提供两种表达 e 的广义连分数公式的初等、自包含证明。
• 通过严格的数学归纳法验证近期通过数值方法发现的 e 的连分数。
• 建立一种系统化、计算上可行的广义连分数公式验证工作流程。
• 展示计算机代数系统在验证与发现此类数学恒等式中的实用性。

提出的方法

• 使用标准连分数理论推导收敛子分子 $ A_n $ 与分母 $ B_n $ 的递推关系。
• 使用数学归纳法证明 $ A_n $ 与 $ B_n $ 的闭式表达式，辅以辅助序列以简化归纳步骤。
• 将递推关系转化为求和形式，以方便取无穷极限。
• 应用已知的 $ e $ 的级数展开，特别是 $ \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} = e $，以计算收敛子的极限。
• 提出一个五步自动化验证工作流程，结合 WolframAlpha 与 OEIS 猜测并确认闭式表达。
• 利用符号计算验证连分数收敛于 e。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用初等方法与归纳推理证明著名的 e 的广义连分数？
• RQ2 最近发现的连分数 $ e = 3 + \cfrac{-1}{4 + \cfrac{-2}{5 + \cdots}} $ 是否在数学上成立，并能通过初等技术证明？
• RQ3 可采用何种系统化方法来验证 e 等常数的广义连分数公式？
• RQ4 计算机代数系统如何辅助此类公式的发现与验证？

主要发现

• 第一个连分数 $ e = 2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{2}{3 + \cdots}}} $ 通过归纳验证 $ A_n = n+2 $ 与 $ B_n $ 的推导表达式，严格证明其收敛于 e。
• 第二个公式 $ e = 3 + \cfrac{-1}{4 + \cfrac{-2}{5 + \cdots}} $ 通过证明 $ B_n = (n+1) \cdot (n+1)! $ 与 $ A_n = \sum_{k=0}^{n+1} (k+1)! \binom{n+1}{k} $ 得到验证，其极限为 e。
• 通过将第二个公式的收敛子 $ \frac{A_n}{B_n} $ 表示为指数级数部分和的组合，证明其极限收敛于 e。
• 本文证明了对于两个连分数均有 $ \lim_{n \to \infty} \frac{A_n}{B_n} = e $，从而确认其正确性。
• 所提出的工作流程通过结合符号计算、序列猜测与归纳证明，实现了此类公式的自动化验证。