[论文解读] Elliptic Blowup Equations for 6d SCFTs. IV: Matters

Jie Gu, Babak Haghighat+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 79被引用 10

一句话总结

本文为原子分类中的所有6d (1,0) 超共形场论（SCFT）建立了椭圆爆破方程，实现了其椭圆亏格和精化BPS不变量的完整计算。利用单位爆破方程与零爆破方程，作者推导出递归公式、Weyl轨道展开以及 ϵ1,ϵ2 展开，以求解具有任意数量弦及完整味/规范代数量的椭圆亏格，通过粘合规则为秩一及更高秩理论提供系统性框架。

ABSTRACT

Given the recent geometrical classification of 6d $(1,0)$ SCFTs, a major question is how to compute for this large class their elliptic genera. The latter encode the refined BPS spectrum of the SCFTs, which determines geometric invariants of the associated elliptic non-compact Calabi-Yau threefolds. In this paper we establish for all 6d $(1,0)$ SCFTs in the atomic classification blowup equations that fix these elliptic genera to large extent. The latter fall into two types: the unity- and the vanishing blowup equations. For almost all rank one theories, we find unity blowup equations which determine the elliptic genera completely. We develop several techniques to compute elliptic genera and BPS invariants from the blowup equations, including a recursion formula with respect to the number of strings, a Weyl orbit expansion, a refined BPS expansion and an $ε_1,ε_2$ expansion. For higher-rank theories, we propose a gluing rule to obtain all their blowup equations based on those of rank one theories. For example, we explicitly give the elliptic blowup equations for the three higher-rank non-Higgsable clusters, ADE chain of $-2$ curves and conformal matter theories. We also give the toric construction for many elliptic non-compact Calabi-Yau threefolds which engineer 6d $(1,0)$ SCFTs with various matter representations.

研究动机与目标

• 计算原子分类中所有6d (1,0) SCFT的椭圆亏格，其编码了其精化BPS谱信息。
• 解决在超过单弦态且具有完整味/规范代数量依赖性下计算BPS不变量的挑战。
• 通过粘合规则将椭圆爆破方程方法从秩一理论扩展至更高秩SCFT。
• 提供一种系统性计算框架，克服以往方法（如局部化、模形式Bootstrap、世界面分析）的局限性。

提出的方法

• 为所有秩一6d (1,0) SCFT推导单位爆破方程与零爆破方程，从而在有限多个例外情况下唯一确定椭圆亏格。
• 建立关于弦数量的递归公式，以计算任意基度下的椭圆亏格。
• 实现Weyl轨道展开，以处理精化BPS谱中规范与味对称群的表示。
• 利用精化BPS展开与 ϵ1,ϵ2 展开，从爆破方程中提取模形式与上同调数据。
• 提出一种粘合规则，通过其秩一组成部分构建更高秩理论的椭圆爆破方程。
• 构造几何实现6d SCFT的toric Calabi-Yau三fold，其包含通用物质表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 椭圆爆破方程是否能唯一确定所有6d (1,0) SCFT（包括无拉格朗日描述者）的椭圆亏格？
• RQ2 如何计算具有任意数量弦及完整味/规范代数量依赖性的6d SCFT的精化BPS不变量？
• RQ3 何种粘合规则可实现从秩一到更高秩6d SCFT的爆破方程扩展？
• RQ4 为何某些更高秩理论无法被其爆破方程唯一确定？需要何种额外数据以解决此问题？
• RQ5 椭圆亏格的模形式性质如何从爆破方程及其解中自然涌现？

主要发现

• 对于几乎所有秩一6d (1,0) SCFT，单位爆破方程唯一确定其椭圆亏格，仅存在12个例外。
• 作者计算了所有 n=1 的 sp(N), su(N), so(N), G2, F4, E6, E7 理论在总度数8以内的椭圆亏格，并提供了显式的精化BPS不变量。
• 该方法成功计算了具有任意基度与完整味/规范代数量的BPS不变量，超越了以往仅限于单弦态或受限代数量集的技术。
• 对于更高秩理论，粘合规则通过其秩一组成部分构建爆破方程，已在三个非Higgsable簇与ADE链的−2曲线中得到验证。
• 本文为许多实现6d SCFT通用物质表示的椭圆非紧致Calabi-Yau三fold提供了toric构造。
• 零爆破方程约束了椭圆亏格的模形式性质，但不足以唯一确定其形式，对某些更高秩理论而言，此问题仍为开放问题。