[论文解读] Elliptic Gromov - Witten invariants and the generalized mirror conjecture

Alexander Givental|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 68

一句话总结

本文提出了一个广义的镜像猜想，并在紧致凯勒流形上对具有孤立不动点的环面等变Gromov-Witten理论及凹丛空间中的Gromov-Witten不变量，证明了其与半单Frobenius结构及复振荡积分之间的关系。关键贡献在于通过振荡积分与量子上同调，精确建立了椭圆不变量与奇点理论数据之间的对应关系，将 genus 0 镜像定理推广至 genus 1。

ABSTRACT

A conjecture expressing genus 1 Gromov-Witten invariants in mirror-theoretic terms of semi-simple Frobenius structures and complex oscillating integrals is formulated. The proof of the conjecture is given for torus-equivariant Gromov - Witten invariants of compact Kähler manifolds with isolated fixed points and for concave bundle spaces over such manifolds. Several results on genus 0 Gromov - Witten theory include: a non-linear Serre duality theorem, its application to the genus 0 mirror conjecture, a mirror theorem for concave bundle spaces over toric manifolds generalizing a recent result of B. Lian, K. Liu and S.-T. Yau. We also establish a correspondence (see the extensive footnote in section 4) between their new proof of the genus 0 mirror conjecture for quintic 3-folds and our proof of the same conjecture given two years ago.

研究动机与目标

• 通过Frobenius流形与奇点理论，将镜像对称对应关系从 genus 0 推广至 genus 1 Gromov-Witten 不变量。
• 在半单Frobenius结构的背景下，建立椭圆Gromov-Witten不变量与复振荡积分之间的对应关系。
• 将 genus 0 镜像定理推广至环面等变紧致凯勒流形及其上的凹丛空间。
• 提供一个统一框架，将量子上同调、虚拟基本类与高亏格GW理论中的局部化技术相联系。

提出的方法

• 提出一个猜想，将 genus 1 Gromov-Witten 不变量表示为生成函数 G 的微分 dG，其中 dG 通过计数椭圆曲线的不变量 [a,t,...,t]/n! 的形式幂级数定义。
• 在奇点理论的消失上同调上，建立 1-形式 dG 与复振荡积分 I = ∫Γ e^{fλ(z)/ħ} v(z,λ) dz 之间的对应关系。
• 应用局部化技术于环面等变Gromov-Witten理论，利用不动点支集计算虚拟基本类。
• 利用量子Lefschetz原理与非线性Serre对偶性，将丛空间的GW不变量与基流形的不变量相联系。
• 通过超几何级数 I(q,ħ)e^{(t0+p log q)/ħ} 的渐近展开，推导出 genus 1 镜像映射，将GW势能识别为 I/φ(q)，其中变量替换由 ħ⁻¹ 项的渐近行为决定。
• 依赖于量子杯积的谱曲线 L ⊂ T*H 及其与奇点理论中临界值和Hessian矩阵的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用Frobenius结构与振荡积分，在镜像理论框架下表达 genus 1 Gromov-Witten 不变量？
• RQ2 椭圆GW不变量与奇点理论数据（如临界值与振荡积分）之间的确切对应关系是什么？
• RQ3 如何将 genus 0 镜像猜想推广至环面及凹丛空间的 genus 1 情形？
• RQ4 能否通过等变局部化与量子上同调表达完全交的虚拟基本类？

主要发现

• 在具有孤立不动点的环面等变紧致凯勒流形及其上的凹丛空间中，证明了 genus 1 Gromov-Witten 不变量的广义镜像猜想。
• 建立了非线性Serre对偶定理，该定理蕴含了在toric流形上凹丛空间的 genus 0 镜像猜想。
• 将 genus 0 镜像定理推广至凹丛空间，扩展了Lian-Liu-Yau的结果。
• 通过匹配超几何级数的渐近展开，建立了Lian-Liu-Yau对五次3-流形 genus 0 镜像猜想的新证明与作者早期证明之间的对应关系。
• 证明了GW势能 J(q,ħ)e^{(t0+p log q)/ħ} 可通过将超几何级数 I(q,ħ)e^{(t0+p log q)/ħ} 除以 φ(q) 并进行由 ħ⁻¹ 渐近行为决定的变量替换而得到。
• 推测在toric流形中的完全交的虚拟基本类，可作为等变类的非等变极限而出现，为将结果推广至凸丛之外提供了可能路径。