[论文解读] Elliptic multiple zeta values, Grothendieck-Teichmüller and mould theory

Leila Schneps|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文引入了一个椭圆双 shuffle 李代数 $π_{ε}π_{π}}$，将其推广至椭圆情形，使用 Ecalle 的 mould 理论构造了一个单射的李代数同态 $π → π_{ε}π_{π}}$。关键结果表明，该映射与切向基点部分 $π \mathrm{Lie}\,\pi_1(\mathrm{MTM}) \to \mathrm{Lie}\,\pi_1(\mathrm{MEM})$ 及 Grothendieck-Teichmüller 映射 $π \mathrm{grt} \to \mathrm{grt}_{ε}π_{π}}$ 兼容，通过一个包含这些结构的交换图实现。

ABSTRACT

In this article we define an elliptic double shuffle Lie algebra $ds_{ell}$ that generalizes the well-known double shuffle Lie algebra $ds$ to the elliptic situation. The double shuffle, or dimorphic, relations satisfied by elements of the Lie algebra $ds$ express two families of algebraic relations between multiple zeta values that conjecturally generate all relations. In analogy with this, elements of the elliptic double shuffle Lie algebra $ds_{ell}$ are Lie polynomials having a dimorphic property called $Δ$-bialternality that conjecturally describes the (dual of the) set of algebraic relations between elliptic multiple zeta values, periods of objects of the category $MEM$ of mixed elliptic motives defined by Hain and Matsumoto. We show that one of Ecalle's major results in mould theory can be reinterpreted as yielding the existence of an injective Lie algebra morphism $ds ightarrow ds_{ell}$. Our main result is the compatibility of this map with the tangential-base-point section ${ m Lie}\,π_1(MTM) ightarrow { m Lie}\,π_1(MEM)$ constructed by Hain and Matsumoto and with the section $grt ightarrow grt_{ell}$ mapping the Grothendieck-Teichmüller Lie algebra $grt$ into the elliptic Grothendieck-Teichmüller Lie algebra $grt_{ell}$ constructed by Enriquez.

研究动机与目标

• 定义一个椭圆类比的古典双 shuffle 李代数 $\mathrm{ds}$，记为 $\mathrm{ds}_{\text{ell}}$，以捕捉椭圆多重 zeta 值之间的代数关系。
• 将双 shuffle 关系的框架——在经典情形下猜想生成所有代数关系——推广至椭圆情形，使用一种称为 $\Delta$-双交错性的新双态性质。
• 利用 Ecalle 的 mould 理论中的一个重大结果，构造一个规范的单射李代数同态 $\mathrm{ds} \to \mathrm{ds}_{\text{ell}}$。
• 证明该同态与两个基本构造的兼容性：切向基点部分 $\mathrm{Lie}\,\pi_1(\mathrm{MTM}) \to \mathrm{Lie}\,\pi_1(\mathrm{MEM})$ 和 Enriquez 构造的映射 $\mathrm{grt} \to \mathrm{grt}_{\text{ell}}$。
• 提供一个统一的框架，将椭圆多重 zeta 值、椭圆 Grothendieck-Teichmüller 李代数以及混合椭圆动机的基本李代数联系起来。

提出的方法

• 将 $\mathrm{ds}_{\text{ell}}$ 定义为满足一种新双态性质 $\Delta$-双交错性的李多项式李代数，该性质在猜想中描述了椭圆多重 zeta 值之间所有代数关系。
• 应用 Ecalle 的 mould 理论，将一个重大结果重新解释为存在一个单射李代数同态 $\mathrm{ds} \to \mathrm{ds}_{\text{ell}}$，利用 mould 空间上的 pre-Lie 和 Campbell-Hausdorff 法则。
• 使用 Poisson-Ihara 括号 $\{f,g\} = D_f(g) - D_g(f) - [f,g]$ 在 $L[C]$ 上建模李代数结构，其中 $D_f$ 是由 $D_f(a) = 0$，$D_f(b) = [f,b]$ 定义的导子。
• 通过 pre-Lie 法则 $p \odot f = pf + D_f(p)$ 构造指数映射 $\exp_{\odot}(f) = \sum_{n \geq 0} \frac{1}{n!} f^{\odot n}$，从而实现自同构 $A_{\exp_{\odot}(f)}$。
• 建立一个包含 $\mathrm{ds}$、$\mathrm{ds}_{\text{ell}}$、$\mathrm{grt}$、$\mathrm{grt}_{\text{ell}}$、$\mathrm{Lie}\,\pi_1(\mathrm{MTM})$ 和 $\mathrm{Lie}\,\pi_1(\mathrm{MEM})$ 的交换图，排除一个猜想的虚线箭头。
• 使用线性化引理证明 $\exp(-\mathrm{arit}(P) + \mathrm{ad}(P)) \cdot a = R^{-1} a R$，其中 $R = \exp_{\text{ari}}(-P)$，从而证明该同态与自同构作用的兼容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将古典双 shuffle 李代数 $\mathrm{ds}$ 推广至椭圆情形，以描述椭圆多重 zeta 值之间的代数关系？
• RQ2 $\Delta$-双交错性在编码椭圆多重 zeta 值的双态结构中起什么作用？它与古典双 shuffle 关系有何关联？
• RQ3 Ecalle 的 mould 理论工具能否用于构造一个规范的单射李代数同态 $\mathrm{ds} \to \mathrm{ds}_{\text{ell}}$？
• RQ4 同态 $\mathrm{ds} \to \mathrm{ds}_{\text{ell}}$ 是否与切向基点部分 $\mathrm{Lie}\,\pi_1(\mathrm{MTM}) \to \mathrm{Lie}\,\pi_1(\mathrm{MEM})$ 兼容？
• RQ5 Enriquez 构造的映射 $\mathrm{grt} \to \mathrm{grt}_{\text{ell}}$ 是否在完整李代数图的背景下与同态 $\mathrm{ds} \to \mathrm{ds}_{\text{ell}}$ 交换？

主要发现

• 定义了一个椭圆双 shuffle 李代数 $\mathrm{ds}_{\text{ell}}$，作为 $\mathrm{ds}$ 的推广，具有 $\Delta$-双交错性性质，该性质在猜想中描述了椭圆多重 zeta 值之间所有代数关系。
• 利用 Ecalle 的 mould 理论中的一个结果，构造了一个规范的单射李代数同态 $\mathrm{ds} \to \mathrm{ds}_{\text{ell}}$，建立了经典与椭圆多重 zeta 值之间深层的结构联系。
• 证明了同态 $\mathrm{ds} \to \mathrm{ds}_{\text{ell}}$ 与 Hain 和 Matsumoto 定义的切向基点部分 $\mathrm{Lie}\,\pi_1(\mathrm{MTM}) \to \mathrm{Lie}\,\pi_1(\mathrm{MEM})$ 兼容。
• 该同态还与 Enriquez 构造的映射 $\mathrm{grt} \to \mathrm{grt}_{\text{ell}}$ 兼容，确保了这些李代数之间主要交换图的交换性。
• 通过线性化引理证明了 $\exp(-\mathrm{arit}(P) + \mathrm{ad}(P)) \cdot a = R^{-1} a R$，其中 $R = \exp_{\text{ari}}(-P)$，从而将自同构作用的兼容性联系起来。