[论文解读] Elliptic PDEs with distributional drift and backward SDEs driven by a c{\`a}dl{\`a}g martingale with random terminal time

Francesco Russo, Lukas Wurzer|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文引入了一类广义的半线性椭圆PDE，其漂移项为分布型，建立了$C^1$广义解的存在性与唯一性。该研究将这些PDE与驱动于具有随机终止时间的c{\'a}dl{\'a}g鞅的倒向SDE联系起来，在驱动鞅的一般条件下证明了解的唯一性。

ABSTRACT

We introduce a generalized notion of semilinear elliptic partial differential equations where the corresponding second order partial differential operator $L$ has a generalized drift. We investigate existence and uniqueness of generalized solutions of class $C^1$. The generator $L$ is associated with a Markov process $X$ which is the solution of a stochastic differential equation with distributional drift. If the semilinear PDE admits boundary conditions, its solution is naturally associated with a backward stochastic differential equation (BSDE) with random terminal time, where the forward process is $X$. Since $X$ is a weak solution of the forward SDE, the BSDE appears naturally to be driven by a martingale. In the paper we also discuss the uniqueness of a BSDE with random terminal time when the driving process is a general c{a}dl{a}g martingale.

研究动机与目标

• 将半线性椭圆PDE推广至包含分布型漂移项，从而扩大允许的生成器类。
• 为这类PDE建立$C^1$广义解的存在性与唯一性。
• 将PDE解与由c{\'a}dl{\'a}g鞅驱动的随机终止时间倒向SDE联系起来。
• 研究当驱动过程为一般c{\'a}dl{\'a}g鞅且具有随机终止时间时，倒向SDE解的唯一性条件。

提出的方法

• 通过SDE的弱解形式化具有分布型漂移的二阶算子$L$的广义概念。
• 将前向马氏过程$X$构造为具有分布型漂移SDE的弱解。
• 定义关联的具有随机终止时间的倒向SDE，其中前向过程为$X$。
• 利用鞅表示性质推导出由c{\'a}dl{\'a}g鞅驱动的BSDE。
• 应用泛函分析技术，证明PDE的$C^1$解的存在性与唯一性。
• 在c{\'a}dl{\'a}g鞅驱动的一般条件下，建立BSDE解的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有分布型漂移的半线性椭圆PDE是否能存在$C^1$广义解？若存在，其条件为何？
• RQ2 此类PDE的解如何自然地与具有随机终止时间的倒向SDE相联系？
• RQ3 在何种条件下可确保由c{\'a}dl{\'a}g鞅驱动且具有随机终止时间的倒向SDE解的唯一性？
• RQ4 具有分布型漂移的前向SDE的弱解结构如何影响BSDE的构造？

主要发现

• 本文建立了具有分布型漂移的半线性椭圆PDE的$C^1$广义解的存在性与唯一性。
• PDE的解被证明等价于具有随机终止时间的倒向SDE的解。
• 由于前向SDE的弱解性质，BSDE由c{\'a}dl{\'a}g鞅驱动。
• 在c{\'a}dl{\'a}g鞅驱动的一般条件下，证明了BSDE解的唯一性。