[论文解读] Elliptic stable envelopes and 3d mirror symmetry

Яков Александрович Кононов|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用 1

一句话总结

本文提出了一种通过平移等变或凯勒参数的椭圆稳定包极限来计算K-理论稳定包的新方法，证明了在循环群作用下G-不动点簇的稳定性包存在性。该研究建立了一个推广阿加尼卡与奥库诺夫工作的因子分解定理，并将量子群作用扩展至辛对偶簇的K-理论，验证了戈尔茨基与内古特定理在希尔伯特簇情形下的猜想。

ABSTRACT

In this thesis we discuss various classical problems in enumerative geometry. We are focused on ideas and methods which can be used explicitly for practical computations. Our approach is based on studying the limits of elliptic stable envelopes with shifted equivariant or Kahler variables from elliptic cohomology to K-theory. We prove that for a variety X we can obtain K-theoretic stable envelopes for the variety of the G-fixed points of X, where G is a cyclic group acting on X preserving the symplectic form. We formalize the notion of symplectic duality, also known as 3-dimensional mirror symmetry. We obtain a factorization theorem about the limit of elliptic stable envelopes to a wall, which generalizes the result of M. Aganagic and A. Okounkov. This approach allows us to extend the action of quantum groups, quantum Weyl groups, R-matrices etc., to actions on the K-theory of the symplectic dual variety. In the case of X = Hilb, our results imply the conjectures of E. Gorsky and A. Negut. We propose a new approach to K-theoretic quantum difference equations.

研究动机与目标

• 通过等变与K-理论方法在代数几何中形式化辛对偶性（3D镜像对称）
• 通过椭圆稳定包的极限发展K-理论稳定包的计算框架
• 将阿加尼卡与奥库诺夫的因子分解定理推广至椭圆上同调中的墙穿跃极限
• 利用该框架将量子群与R-矩阵作用扩展至辛对偶簇的K-理论
• 验证并扩展戈尔茨基与内古特关于希尔伯特簇K-理论量子差分方程的猜想

提出的方法

• 通过平移等变或凯勒变量的椭圆稳定包极限，实现从椭圆上同调到K-理论的过渡
• 将此极限过程应用于保持辛形式的循环群作用下的簇
• 通过群作用下不动点子簇的结构形式化辛对偶性
• 推导椭圆稳定包在墙处极限的因子分解定理，推广先前结果
• 在辛对偶簇的K-理论上构造量子群、Weyl群与R-矩阵的作用
• 将该框架应用于希尔伯特簇，以验证戈尔茨基与内古特关于K-理论量子差分方程的猜想

实验结果

研究问题

• RQ1 椭圆稳定包如何通过参数极限用于构造K-理论稳定包？
• RQ2 椭圆稳定包在墙处极限的精确结构是什么？它如何推广先前结果？
• RQ3 辛对偶性在循环群作用下不动点子簇的K-理论中如何体现？
• RQ4 该框架如何将量子群作用扩展至辛对偶簇的K-理论？
• RQ5 该结果在多大程度上验证了戈尔茨基与内古特关于K-理论量子差分方程的猜想？”

主要发现

• 通过平移参数的椭圆稳定包极限，得到X的G-不动点子簇上K-理论稳定包，其中G是保持辛形式的循环群
• 建立了椭圆稳定包墙穿跃极限的一般因子分解定理，推广了阿加尼卡与奥库诺夫的工作
• 将量子群作用、量子Weyl群与R-矩阵作用扩展至辛对偶簇的K-理论
• 该框架验证了戈尔茨基与内古特关于希尔伯特簇K-理论量子差分方程的猜想
• 该方法提供了一种通过稳定包极限推导K-理论量子差分方程的新途径
• 通过群作用下不动点簇的K-理论结构形式化了辛对偶性