[论文解读] Embedding of hyperbolic Coxeter groups into products of binary trees and aperiodic tilings

Alexander Dranishnikov, Viktor Schroeder|ArXiv.org|Apr 28, 2005

Cellular Automata and Applications参考文献 15被引用 13

一句话总结

本文通过将右角双曲考克斯eter群的色数作为树因子的数量，建立了其到二叉树乘积的拟等距嵌入。关键结果表明，此类群可拟等距嵌入到 $ n $ 棵二叉树的乘积中，其中 $ n $ 为色数，从而实现了其戴维斯复形的强非周期性密铺的构造，且其极限密铺为严格平衡的非周期性密铺。

ABSTRACT

We prove that a finitely generated, right-angled, hyperbolic Coxeter group can be quasiisometrically embedded into the product of n binary trees, where n is the chromatic number of the group. As application we obtain certain strongly aperiodic tilings of the Davis complex of these groups.

研究动机与目标

• 建立有限生成、右角、双曲考克斯eter群到二叉树乘积的拟等距嵌入。
• 证明所需树因子的数量等于该群的色数。
• 将嵌入结果应用于构造戴维斯复形的强非周期性密铺，且密铺块严格平衡。
• 证明所构造密铺的所有极限密铺也均为强非周期性。
• 将构造推广至构造双曲空间 $ \mathbb{H}^n $（$ n \geq 2 $）的凸非周期性密铺。

提出的方法

• 使用右角考克斯eter群的色数 $ n $ 作为乘积空间中二叉树因子的数量。
• 利用群的结构及神经图的着色，构造拟等距嵌入 $ \psi: C(\Gamma, S) \to T \times \cdots \times T $（共 $ n $ 次）。
• 利用树上的单纯形度量以及乘积空间上的 $ \ell^1 $-度量，以保持大尺度几何性质。
• 将该嵌入应用于群的戴维斯复形，以生成密铺，其匹配规则由密铺块的几何形状与方向编码。
• 通过在顶点处使用局部坐标与颜色对进行局部形变，对密铺进行修改，以实现严格平衡且凸的密铺块。
• 在面上使用权重函数，通过群不变性与权重和非零的性质，证明非平衡几何实现下的非周期性。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个有限生成、右角、双曲考克斯eter群是否都能拟等距嵌入到 $ n $ 棵二叉树的乘积中，其中 $ n $ 为色数？
• RQ2 此类嵌入是否能实现戴维斯复形的强非周期性密铺，且密铺块严格平衡？
• RQ3 能否对密铺进行修改，使其在 $ \mathbb{H}^2 $ 中产生凸密铺块，同时保持非周期性与平衡性？
• RQ4 所构造密铺的所有极限密铺是否也均为强非周期性？
• RQ5 $ n $ 棵度量树的乘积的双曲秩是多少？其与嵌入结果有何关联？

主要发现

• 色数为 $ n $ 的有限生成、右角、双曲考克斯eter群 $ \Gamma $ 可拟等距嵌入到 $ n $ 棵二叉树的乘积中。
• 双曲平面 $ \mathbb{H}^2 $ 可拟等距嵌入到两棵二叉树的乘积中。
• 对每个 $ n $，存在一个虚拟上同调维数为 $ n $ 的格罗莫夫双曲群 $ \Gamma_n $，其可拟等距嵌入到 $ n $ 棵二叉树的乘积中。
• $ n $ 棵度量树的乘积的双曲秩为 $ n-1 $，且该结论对 $ n $ 个自由群的乘积同样成立。
• 任何右角、双曲考克斯eter群的戴维斯复形均存在由有限种密铺块构成的强非周期性密铺，且所有极限密铺也均为强非周期性。
• 对每个 $ n \geq 3 $，存在一种由有限种类型、严格平衡且强非周期性的凸 $ 2n $-边形密铺，其极限密铺也为非周期性。