[论文解读] Embeddings of $\mathbb{Q}$ into Some Finitely Presented Groups.

James Belk, James Hyde+1 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 33被引用 5

一句话总结

本文构建了一个显式的、有限生成的群——具体而言，是 Thompson 群 $T$ 的一个提升——该群包含有理数的加法群 $\bbQ$，从而实现了 $\bbQ$ 的 Higman 嵌入定理。此外，本文还引入了一个由两个生成元生成的、类型为 $\rF_\by$ 的简单群 $T\rs A$，该群由圆周同胚构成，能够嵌入 $\bbQ$，从而显式实现了 $\bbQ$ 的 Boone-Higman 定理。

ABSTRACT

We observe that the lift of Thompson's group $T$ to the real line is finitely presented and contains the additive group $\mathbb{Q}$ of the rational numbers. This gives an explicit realization of the Higman embedding theorem for $\mathbb{Q}$, answering a Kourovka notebook question of Martin Bridson and Pierre de la Harpe. We also prove that $\mathbb{Q}$ can be embedded into a finitely presented simple group, explicitly realizing the Boone-Higman theorem for $\mathbb{Q}$. Specifically, we describe a simple group $T\!\hspace{0.1em}\mathcal{A}$ of homeomorphisms of the circle that contains $\mathbb{Q}$, and we prove that $T\!\hspace{0.1em}\mathcal{A}$ is two-generated and has type $\mathrm{F}_\infty$. Our method for proving finiteness properties extends existing techniques to allow for groups of homeomorphisms that are locally more complicated than the standard Thompson groups.

研究动机与目标

• 通过将 $\bbQ$ 嵌入有限生成群，显式实现有理数加法群 $\bbQ$ 的 Higman 嵌入定理。
• 回答 Martin Bridson 与 Pierre de la Harpe 在 Kourovka 笔记中提出的问题，即此类嵌入是否存在。
• 构造一个包含 $\bbQ$ 的有限生成简单群，从而实现 $\bbQ$ 的 Boone-Higman 定理。
• 将现有证明有限性性质的技术扩展至具有比标准 Thompson 群更复杂局部结构的同胚群。

提出的方法

• 将 Thompson 群 $T$ 提升到实直线，得到一个有限生成群，该群包含 $\bbQ$ 作为子群。
• 构造一个新的群 $T\rs A$，即保持方向的圆周同胚群，该群包含 $\bbQ$，并证明其为简单群。
• 通过将有限性性质技术的扩展应用于更复杂的局部动力学，证明 $T\rs A$ 是两个生成元生成且具有类型 $\rF_\by$。
• 将证明 $\rF_\by$-有限性的方法推广至并非局部同构于标准 Thompson 群的同胚群。
• 利用 $T$ 的提升结构分析其在 $\bbR$ 上的作用，并提取出有理数子群 $\bbQ$。
• 通过分析其在圆周上的作用及元素的动力学，证明 $T\rs A$ 的简单性。

实验结果

研究问题

• RQ1 有理数加法群 $\bbQ$ 是否可以被显式嵌入一个有限生成群中，从而构造性地实现 Higman 嵌入定理？
• RQ2 是否存在一个有限生成简单群，使其包含 $\bbQ$ 作为子群，从而实现 $\bbQ$ 的 Boone-Higman 定理？
• RQ3 能否为具有比标准 Thompson 群更复杂局部结构的圆周同胚群建立如 $\rF_\by$ 这类有限性性质？
• RQ4 Thompson 群 $T$ 提升到实直线后的结构是什么？它如何自然地包含 $\bbQ$？
• RQ5 现有证明 $\rF_\by$-有限性的技术应如何调整，以处理具有更丰富局部动力学的群？

主要发现

• Thompson 群 $T$ 提升到实直线后是有限生成的，并且包含加法群 $\bbQ$ 作为子群。
• $T\rs A$ 是一个由圆周同胚构成的群，被显式构造以包含 $\bbQ$，并被证明是简单群。
• $T\rs A$ 是两个生成元生成且具有类型 $\rF_\by$，意味着它存在一个分类空间，其所有 $n$-骨架均为有限的。
• 该方法将现有证明有限性性质的技术扩展至具有比标准 Thompson 群更复杂局部行为的同胚群。
• 该构造为 $\bbQ$ 在有限生成群中实现了 Higman 嵌入定理的明确、显式实现。
• 该构造还为 $\bbQ$ 在有限生成简单群中实现了 Boone-Higman 定理的明确、显式实现。