[论文解读] Embeddings of proper metric spaces into Banach spaces

Baudier Florent|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2009

Advanced Banach Space Theory参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文证明了每个完备度量空间均可强一致地嵌入任意无非平凡型的巴拿赫空间中，且进一步证明了所有 Lp 空间中的完备子集均可共形双利普希茨一致地嵌入任何均匀包含 ℓp^n 的巴拿赫空间中。一个逆向结果表明，若所有完备度量空间均可在受控畸变下嵌入某一巴拿赫空间，则该空间必须不具有非平凡型，从而通过嵌入性质对这类空间进行了刻画。

ABSTRACT

We show that there exists a strong uniform embedding from any proper metric space into any Banach space without cotype. Then we prove a result concerning the Lipschitz embedding of locally finite subsets of $\mathcal{L}_{p}$-spaces. We use this locally finite result to construct a coarse bi-Lipschitz embedding for proper subsets of any $\mathcal{L}_p$-space into any Banach space $X$ containing the $\ell_p^n$'s. Finally using an argument of G. Schechtman we prove that for general proper metric spaces and for Banach spaces without cotype a converse statement holds.

研究动机与目标

• 刻画所有完备度量空间均可强一致嵌入的巴拿赫空间。
• 研究 Lp 空间中完备子集在均匀包含 ℓp^n 的巴拿赫空间中的共形双利普希茨可嵌入性。
• 建立一个逆向陈述：若所有完备度量空间均可在受控畸变下嵌入某一巴拿赫空间，则该目标空间必须不具有非平凡型。
• 将已知关于局部有限度量空间嵌入无型巴拿赫空间的利普希茨嵌入结果，推广至共形与一致设置。
• 利用超乘积技巧与对偶性论证，推导出在超乘积中存在线性嵌入，从而将非线性嵌入与线性结构联系起来。

提出的方法

• 通过最大网与完备度量空间中的度量熵估计构造强一致嵌入。
• 利用无非平凡型的巴拿赫空间均匀包含 ℓ∞^n 的事实，通过有限维逼近构建嵌入。
• 应用局部有限子集在 Lp 空间中嵌入至均匀包含 ℓp^n 的巴拿赫空间的局部嵌入结果。
• 将度量空间到有限网的共形双利普希茨映射与该网到目标空间的利普希茨嵌入进行复合。
• 使用超乘积技巧将共形嵌入提升为超乘积中的线性嵌入，借助 Heinrich-Mankiewicz 可微性论证。
• 通过反证法证明逆向结论：假设所有完备空间均可嵌入，则目标空间必须不具有非平凡型。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个完备度量空间是否均可强一致地嵌入任意无非平凡型的巴拿赫空间？
• RQ2 在何种条件下，巴拿赫空间可实现所有 Lp 空间中完备子集的共形双利普希茨嵌入？
• RQ3 若巴拿赫空间需共形地以受控畸变嵌入所有完备度量空间，则其不具有非平凡型是否为必要条件？
• RQ4 巴拿赫空间的嵌入性质是否可由其对所有完备度量空间实现统一畸变嵌入的能力来刻画？
• RQ5 共形或一致嵌入至某一巴拿赫空间在多大程度上能推导出其超乘积或对偶空间中的线性结构？

主要发现

• 每个完备度量空间均可强一致地嵌入任意无非平凡型的巴拿赫空间中。
• Lp 空间中的完备子集可共形双利普希茨一致地嵌入任何均匀包含 ℓp^n 的巴拿赫空间中，且通用畸变与加法常数仅依赖于 Lp 结构。
• 巴拿赫空间 X 不具有非平凡型，当且仅当每个完备度量空间均可在统一畸变与加法常数下共形双利普希茨嵌入 X。
• 局部有限嵌入结果的逆命题成立：若所有局部有限度量空间均可在统一畸变下嵌入 X，则 X 必须均匀包含 ℓ∞^n，即不具有非平凡型。
• 通过超乘积技巧与对偶性论证，本文证明 ℓ∞^n 可线性嵌入 X 的超乘积的二阶对偶中，从而将非线性嵌入性质与线性结构联系起来。
• G. Schechtman 的论证表明，若存在一个适用于所有完备度量空间的通用共形双利普希茨嵌入畸变常数，则该巴拿赫空间必无非平凡型。