[论文解读] Embeddings of smooth function spaces, extrapolations, and related inequalities

Óscar Domínguez, Sergey Tikhonov|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 5

一句话总结

本文通过涉及重排和光滑模的点态不等式，统一刻画了次临界、临界和超临界情形下的Sobolev嵌入。它建立了光滑函数空间的外推定理，得到了精确的嵌入结果，并推广了经典的Gagliardo–Nirenberg、Trudinger和Jawerth–Franke嵌入结果。

ABSTRACT

We study the Sobolev embedding in $\cdot$ subcritical case, that is, $(W^k_p(\Omega))_0 \hookrightarrow L_{p^\ast,p}(\Omega)$ for $k < d/p,$ $\cdot$ critical case, that is, $(W^{k}_p(\Omega))_0 \hookrightarrow Y$ for $k = d/p$ and appropriate $Y,$ $\cdot$ and supercritical case, that is, $\dot{W}^{k}_p(\mathcal{X}) \hookrightarrow Y$ for $k > d/p, \mathcal{X} \in \{\mathbb{R}^d, \mathbb{T}^d\}$ and appropriate $Y.$ We obtain characterizations of these embeddings in terms of pointwise inequalities involving rearrangements and moduli of smoothness/derivatives of functions and via extrapolation theorems for corresponding smooth function spaces. Applications include, among others, Ulyanov--Kolyada type inequalities for rearrangements, inequalities for moduli of smoothness, sharp Jawerth--Franke embeddings for Lorentz--Sobolev spaces, various characterizations of Gagliardo--Nirenberg, Trudinger, Maz'ya--Hansson--Brezis--Wainger and Brezis--Wainger embeddings.

研究动机与目标

• 统一分析次临界、临界和超临界情形下Sobolev嵌入的框架。
• 通过涉及重排和光滑模的点态不等式刻画嵌入关系。
• 为光滑函数空间建立外推定理，以推导嵌入结果。
• 推广并统一已知的嵌入结果，如Gagliardo–Nirenberg、Trudinger、Maz’ya–Hansson–Brezis–Wainger和Brezis–Wainger嵌入。
• 建立精确不等式，包括Ulyanov–Kolyada型结果，适用于重排和光滑模。

提出的方法

• 通过函数及其导数的递减重排来分析嵌入关系。
• 利用光滑模量化函数的正则性与嵌入性质之间的关系。
• 推导可将嵌入结果从一个函数空间情形推广到其他情形的外推定理。
• 以Lorentz–Sobolev空间为框架，统一并推广已知的嵌入定理。
• 应用重排和Lorentz空间理论，刻画有界与无界区域中的嵌入关系。
• 通过泛函分析技术，建立嵌入定理与光滑模不等式之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过涉及重排和光滑模的点态不等式，统一刻画次临界、临界和超临界情形下的Sobolev嵌入？
• RQ2 重排和光滑模在确定嵌入精确性方面起到何种作用？
• RQ3 外推定理如何应用于不同正则性情形下光滑函数空间的嵌入推导？
• RQ4 本研究结果如何推广经典的Gagliardo–Nirenberg和Trudinger嵌入？
• RQ5 能否从所提出的框架中推导出重排的Ulyanov–Kolyada型不等式？

主要发现

• 本文通过涉及重排和光滑模的点态不等式，完整刻画了次临界Sobolev嵌入。
• 在 $ k = d/p $ 的临界情形下，通过泛函分析方法提供了精确的嵌入刻画，并确定了适当的目标空间 $ Y $。
• 对于 $ k > d/p $ 的超临界情形，该框架在 $ bR^d $ 和 $ bT^d $ 上导出了进入Lorentz–Sobolev空间的精确嵌入。
• 所推导的外推定理使得不同基于 $ L_p $ 的光滑函数空间之间的嵌入性质得以转移。
• 本研究将Jawerth–Franke嵌入定理推广至Lorentz–Sobolev空间，提供了统一且精确的表述形式。
• 该框架导出了关于重排和光滑模的新精确不等式，属于Ulyanov–Kolyada型，扩展了该方向的已知结果。