[论文解读] Emergent universality in critical quantum spin chains: entanglement Virasoro algebra

Qi Hu, Adrián Franco Rubio+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2020

Quantum many-body systems参考文献 44被引用 5

一句话总结

该论文揭示了临界量子自旋链中约化密度矩阵的 Schmidt 向量——此前被忽视——通过实现一个 Virasoro 代数，表现出涌现的普遍性，对应于边界共形场论（BCFT）。作者构建了晶格算符 $ H_n $，其在 Schmidt 基下的矩阵元在边界 CFT 中普遍收敛于 $ \frac{1}{2}(L_n + L_{-n}) $，并在临界伊辛、XY 和 XX 模型中通过数值方法得到验证。

ABSTRACT

Entanglement entropy and entanglement spectrum have been widely used to characterize quantum entanglement in extended many-body systems. Given a pure state of the system and a division into regions $A$ and $B$, they can be obtained in terms of the $Schmidt~ values$, or eigenvalues $λ_α$ of the reduced density matrix $ρ_A$ for region $A$. In this paper we draw attention instead to the $Schmidt~ vectors$, or eigenvectors $|v_α angle$ of $ρ_A$. We consider the ground state of critical quantum spin chains whose low energy/long distance physics is described by an emergent conformal field theory (CFT). We show that the Schmidt vectors $|v_α angle$ display an emergent universal structure, corresponding to a realization of the Virasoro algebra of a boundary CFT (a chiral version of the original CFT). Indeed, we build weighted sums $H_n$ of the lattice Hamiltonian density $h_{j,j+1}$ over region $A$ and show that the matrix elements $\langle v_αH_n |v_{α'} angle$ are universal, up to finite-size corrections. More concretely, these matrix elements are given by an analogous expression for $H_n^{ iny ext{CFT}} = \frac 1 2 (L_n + L_{-n})$ in the boundary CFT, where $L_n$'s are (one copy of) the Virasoro generators. We numerically confirm our results using the critical Ising quantum spin chain and other (free-fermion equivalent) models.

研究动机与目标

• 揭示纠缠量子多体系统中 Schmidt 向量的隐藏普遍结构，超越纠缠熵和谱的范畴。
• 研究临界量子自旋链中的 Schmidt 向量是否携带 Virasoro 代数的实现，表明涌现的共形对称性。
• 通过 Schmidt 基中的矩阵元，建立晶格哈密顿量密度与 Virasoro 生成元之间的定量联系。
• 在不同临界模型中，数值验证这些矩阵元的普遍性，包括伊辛、XY 和 XX 链。
• 证明涌现的 Virasoro 代数源于临界自旋链的低能物理，即使在存在有限尺寸修正的有限系统中亦成立。

提出的方法

• 定义区域 A 中晶格哈密顿量密度 $ h_{j,j+1} $ 的加权和 $ H_n $，空间权重源自共形映射和晶格几何。
• 将 $ H_n $ 构造为 $ \frac{1}{2}(L_n + L_{-n}) $，其中 $ L_n $ 为 Virasoro 生成元，以确保厄米性并对应于边界 CFT。
• 计算约化密度矩阵 $ \rho_A $ 的 Schmidt 基 $ \{ |v_\alpha \rangle \} $ 下的矩阵元 $ \langle v_\alpha | H_n | v_{\alpha'} \rangle $。
• 将这些矩阵元与相应的 CFT 值 $ \langle \psi_\alpha | H_n^{\text{CFT}} | \psi_{\alpha'} \rangle $ 进行比较，其中 $ H_n^{\text{CFT}} = \frac{1}{2}(L_n + L_{-n}) $。
• 使用有限尺寸标度和线性外推法评估收敛性并量化有限尺寸修正。
• 将该方法应用于临界伊辛、XY 和 XX 自旋链，利用费米子映射和精确对角化进行数值验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 临界量子自旋链的 Schmidt 向量是否携带超越纠缠谱的普遍代数结构？
• RQ2 在 Schmidt 基中，晶格哈密顿量密度的矩阵元能否再现边界 CFT 中 Virasoro 生成元的作用？
• RQ3 这种涌现的 Virasoro 代数在不同临界模型中是否稳健，如伊辛、XY 和 XX 链？
• RQ4 有限尺寸效应如何影响 Schmidt 向量矩阵元向其 CFT 对应物的收敛性？
• RQ5 是否能通过数值方法在自由费米子等价模型中识别并验证涌现的 Virasoro 代数？

主要发现

• 晶格算符 $ H_n $ 在 Schmidt 基下的矩阵元 $ \langle v_\alpha | H_n | v_{\alpha'} \rangle $ 在有限尺寸修正下普遍收敛于边界 CFT 中的 $ \frac{1}{2}(L_n + L_{-n}) $。
• 对于临界伊辛链，纠缠谱与具有诺伊曼边界条件的 $ |\sigma\rangle $ 卡迪态的标度维数一致，证实了 BCFT 对应关系。
• 在 XX 模型（$ \gamma = 0 $）中，Schmidt 向量与紧致化半径 $ r = 1 $ 的自由玻色子 CFT 匹配，简并性源于 U(1) 和 $ Z_2 $ 对称性。
• 在 XX 模型中，对于 $ 2N = 8192 $ 的数值分析显示，矩阵元收敛，且有限尺寸修正 $ \mathcal{F}^n_{\alpha\alpha'} $ 支持普遍性猜想。
• 通过线性外推估计的参数 $ \epsilon \approx 0.042 $，量化了各模型中矩阵元与精确 CFT 值之间的有限尺寸偏差。
• 涌现的 Virasoro 代数在不同普适类中均表现稳健，包括非相互作用（XX）和相互作用（伊辛）临界点，证实了普遍性。