[论文解读] Emerton's Jacquet functors for non-Borel parabolic subgroups

Richard Hill, David Loeffler|arXiv (Cornell University)|May 24, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用 8

一句话总结

本文通过使用非交换勒维因子的雅可比函子，将埃默顿的特征簇构造推广至 $p$-进表示论中的非博雷尔抛物子群。研究表明，导群作用下的同类型分量可给出中心 $Z(M)$ 的本质上可接受的局部解析表示，从而实现对具有非主系列 $p$-进分量的自守形式的特征簇构造。

ABSTRACT

This paper studies Emerton's Jacquet module functor for locally analytic representations of p-adic reductive groups. When P is a parabolic subgroup whose Levi factor M is not commutative, we show that passing to an isotypical subspace for the derived subgroup of M gives rise to essentially admissible locally analytic representations of the torus Z(M), which have a natural interpretation in terms of rigid geometry. We use this to extend Emerton's representation-theoretic construction of eigenvarieties by constructing eigenvarieties interpolating automorphic representations whose local components at p are not necessarily principal series.

研究动机与目标

• 将埃默顿的特征簇构造推广至博雷尔子群之外的情形，此时 $p$-进局部分量不一定是主系列。
• 研究在 $p$-进半单群的局部解析表示背景下，埃默顿的雅可比模函子在非博雷尔抛物子群中的行为。
• 通过勒维因子的导群的同类型子空间，构造参数化 $p$-进局部分量非主系列的自守表示的特征簇。
• 通过刚性解析空间和 $\widehat{Z(M)}$ 上的凝聚层，建立这些表示的几何解释。
• 将特征簇构造扩展至标准博雷尔方法失效的情形，特别是当 $J_B(\pi_\mathfrak{p}) = 0$ 时。

提出的方法

• 对一般抛物子群 $P$ 及其非交换勒维因子 $M$，应用埃默顿的雅可比函子 $J_P$。
• 取勒维因子 $M$ 的导群 $D = [M,M]$ 的同类型子空间，得到 $Z(M)$ 的表示。
• 利用本质上可接受的局部解析表示与刚性解析空间 $\widehat{Z(M)}$ 上的凝聚层之间的反等价关系。
• 将特征簇构造为作用于雅可比模 $J_P(\widetilde{H}^i_{\mathrm{la}})$ 上的无分歧Hecke代数 $\mathcal{H}^\mathrm{sph}$ 的相对谱。
• 通过 $Z_2$-元素的作用，将雅可比模按有限斜率部分与零部分分解，其中 $P_2 \subset P_1$ 为更小的抛物子群。
• 通过与Hecke作用可交换的雅可比模商，将有限斜率部分与关联于 $P_2$ 的特征簇的子簇联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 埃默顿的特征簇构造能否推广至非博雷尔抛物子群，使得 $p$-进局部分量非主系列？
• RQ2 当抛物子群 $P$ 的勒维因子 $M$ 非交换时，雅可比模 $J_P(\widetilde{H}^i_{\mathrm{la}})$ 的结构如何？
• RQ3 如何利用导群 $D = [M,M]$ 的同类型分量构造参数化非主系列自守形式的特征簇？
• RQ4 这些表示的几何解释在刚性解析空间与凝聚层方面如何体现？
• RQ5 在嵌套抛物子群 $P_2 \subset P_1$ 下，雅可比模的有限斜率与零部分分解如何影响特征簇的结构？

主要发现

• 对勒维因子 $M$ 的导群 $D$ 的同类型子空间取法，可得到中心 $Z(M)$ 的本质上可接受的局部解析表示，其可通过 $\widehat{Z(M)}$ 上的凝聚层进行几何解释。
• 特征簇 $\mathcal{E}(i,P,W,U)$ 参数化点 $(\theta\chi, \lambda)$，其中 $\theta\chi$ 是 $Z(M)$ 的特征，$\lambda$ 是Hecke特征标，使得 $J_P(\widetilde{H}^i_{\mathrm{la}})$ 中对应的特征空间非零。
• 经典点 $E(i,P,W,U)_{\mathrm{cl}}$ 的Zariski闭包的维数至多为 $\dim Z(M)$，反映了参数空间的几何限制。
• 当弱埃默顿准则成立时，特征簇的经典点包含于特征簇本身与可能的一个额外点 $(\chi^{-1}, 1)$ 的并集中，若 $W$ 为特征。
• 对于嵌套抛物子群 $P_1 \supseteq P_2$，特征簇 $\mathcal{E}(i,P_1,W,U)$ 分解为有限斜率部分与零部分，其中有限斜率部分同构于 $\mathcal{E}(i,P_2,W^{N_{12}},U \cap D_2)$ 上的商层的上推。
• Hecke代数 $\mathcal{H}^\mathrm{ram}$ 在有限斜率部分上可逆，在零部分上幂零，反映了雅可比模的谱分解。