[论文解读] Empirical central limit theorems for ergodic automorphisms of the torus

Jérôme Dedecker, Florence Merlevède+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2012

Mathematical Dynamics and FractalsMathematics参考文献 17被引用 22

一句话总结

该论文在可观测函数具有温和连续性条件的前提下，建立了环面的遍历自同构下序列经验过程的弱收敛性。通过引入非适应序列的新矩不等式和条件数学期望估计，证明了在 $L^p$ 和一致拓扑下收敛到高斯过程，将泛函中心极限定理推广至环面上的依赖、非独立同分布的动力系统。

ABSTRACT

Let T be an ergodic automorphism of the d-dimensional torus T^d, and f be a continuous function from T^d to R^l. On the probability space T^d equipped with the Lebesgue-Haar measure, we prove the weak convergence of the sequential empirical process of the sequence (f o T^i)_{i \geq 1} under some mild conditions on the modulus of continuity of f. The proofs are based on new limit theorems and new inequalities for non-adapted sequences, and on new estimates of the conditional expectations of f with respect to a natural filtration.

研究动机与目标

• 建立 $d$-维环面上遍历自同构的序列经验过程的弱收敛性。
• 将泛函中心极限定理推广至由确定性动力系统产生的依赖、非独立同分布序列。
• 提供可观测函数模连续性条件，以确保经验过程弱收敛到高斯极限。
• 为动力系统中非适应、弱依赖序列开发新的概率工具——矩不等式和条件数学期望估计。
• 使部分和的应用成为可能，包括弱不变性原理和强不变性原理中的收敛速率。

提出的方法

• 推导光滑巴拿赫空间中依赖序列的新的中心极限定理，特别是 $L^p$-值过程。
• 建立非适应、弱依赖序列的新 Rosenthal 型不等式，这对控制经验过程的矩至关重要。
• 引入一个关键估计（定理 19），通过 $f$ 的模连续性控制基于 Lind 划分生成的滤子的可观测函数的条件数学期望。
• 利用环面遍历自同构的谱性质及关联线性映射 $S$ 的结构，控制依赖性的衰减。
• 应用 Kiefer 过程理论，在 $[0,1] \times \mathbb{R}^\ell$ 上的一致拓扑下刻画极限高斯过程。
• 利用 $f$ 的模连续性与条件数学期望衰减之间的联系，推导傅里叶系数或对数奇点的可积性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $f$ 的模连续性满足何种条件下，序列经验过程 $\{n^{-1/2}S_{[nt]}(s)\}$ 弱收敛到高斯过程？
• RQ2 非适应序列的矩不等式能否推广至具有长程依赖的系统，如非双曲环面自同构？
• RQ3 如何仅通过 $f$ 的模连续性控制条件数学期望估计，而无需假设 Hölder 正则性？
• RQ4 这些结果对部分和的弱不变性原理及强不变性原理中的收敛速率有何影响？
• RQ5 在依赖情形下，能否通过 Kiefer 过程型极限完全刻画环面上经验过程的极限行为？

主要发现

• 序列经验过程 $\{n^{-1/2}S_{[nt]}(s), t \in [0,1], s \in \mathbb{R}^\ell\}$ 在 $\ell^\infty([0,1] \times \mathbb{R}^\ell)$ 中弱收敛到广义 Kiefer 过程，即时间上独立增量的高斯过程，其协方差结构依赖于 $f$。
• 当 $\ell=1$ 时，过程 $\{n^{-1/2}S_{[nt]}(s)\}$ 在 $D_{L^p}([0,1])$ 中弱收敛到 $L^p$-值维纳过程，其协方差算子有明确定义。
• 条件 $\sum_{n>0} \frac{\omega(f, \zeta^n)}{\sqrt{n}} < \infty$ 推出 $\left\| \max_{1 \leq k \leq n} \left| \sum_{i=1}^k (f \circ T^i - \bar{\lambda}(f)) \right| \right\|_p \ll n^{1/2}$ 对任意 $p > 2$ 成立，从而确保矩界。
• 积分条件 $\int_0^{1/2} \frac{\omega(f,t)}{t |\log t|^{1/2}} dt < \infty$ 确保了方差级数 $\sigma^2(f)$ 的绝对收敛性，以及部分和的弱不变性原理。
• 当 $a > 1/2$ 时，强不变性原理中的收敛速率几乎必然为 $o(n^{1/2 - \epsilon})$；当 $a \geq 3/2$ 时，速率提升至 $n^{1/4} \log n$。
• 关键估计（定理 19）以 $\omega(f, \cdot)$ 的形式控制了条件数学期望 $\mathbb{E}_0[g^{(0)}_{s,t}(X_j) g^{(0)}_{s,t}(X_{j+i})]$，使得在不假设 Hölder 正则性的情况下，也能实现紧致性和收敛性证明。