[论文解读] Encoding classical data into a quantum computer

Kumar Ghosh|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 19被引用 12

一句话总结

本文提出一种利用奇异值分解（SVD）和 Schmidt 分解高效编码经典数据至量子态的方法，将 n 价子系统所需两量子比特门数量从 O(2^{2n}) 减少至 O(2^n)。该方法构建了准备任意多量子比特态的量子线路，显著减少了纠缠门数量，从而大幅降低量子计算中的电路复杂度与错误率。

ABSTRACT

In this article we describe a technique to transfer data from classical domain to quantum domain. We consider a set of $N (=2^n)$ classical data in the form of a column matrix and prepare a $n$-qubit quantum state, whose components correspond to the $N$ classical data. To prepare this $n$-qubit quantum vector we use Schmidt decomposition and singular value decomposition techniques respectively and construct the corresponding family of quantum circuits. To strengthen our argument we also give specific examples by considering a set of 4 and 16 classical data and constructing the corresponding 2 and 4-qubit quantum vector respectively.

研究动机与目标

• 解决将经典数据高效映射至量子态以用于量子算法的挑战。
• 减少准备任意 n 量子比特态所需两量子比特门的数量，这对最小化近期量子设备中的错误率至关重要。
• 基于 Schmidt 分解与 SVD，开发一种可扩展的量子线路构造方法，以最小化门数与线路深度。
• 通过将 4 个和 16 个经典数据点编码为 2- 和 4-量子比特量子态的明确示例，验证该方法。
• 提供一种可推广至奇数量子比特系统的量子线路构造框架。

提出的方法

• 使用奇异值分解（SVD）将经典数据矩阵分解为酉矩阵 U、Σ 和 V†，从而实现高效态制备。
• 应用 Schmidt 分解，将目标量子态表示为一组具有 Schmidt 系数 λ_i 的纠缠基态之和，其中 Schmidt 系数由奇异值导出。
• 分四步构建量子线路：通过单量子比特旋转在前 n 个量子比特上制备 Schmidt 系数，应用 CNOT 门使前两个 n 量子比特寄存器纠缠，利用 Pauli-X 和 SWAP 门执行基变换，对第二个寄存器应用旋转以实现 Schmidt 基。
• 利用变换矩阵的酉性，确保基变换可通过量子门物理实现，尽管寻找最优门序列仍具挑战性。
• 使用旋转门 U(θ)，其角度由奇异值导出（例如 θ = arcsin(σ_i)），在单个量子比特上制备 Schmidt 系数。
• 通过将系统划分为 n 和 (n+1) 量子比特子系统，并对所得矩阵应用 SVD，将该方法推广至奇数量子比特系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以最少的两量子比特门数量将经典数据编码为多量子比特量子态？
• RQ2 SVD 与 Schmidt 分解能否用于减少准备任意量子态所需的纠缠门数量？
• RQ3 与标准方法相比，使用该方法准备 4 量子比特态的门复杂度如何？
• RQ4 如何在量子线路中高效实现基变换（例如从计算基到 Schmidt 基）？
• RQ5 该方法在实现上的实际限制是什么，特别是从经典预处理与门合成的角度？

主要发现

• 该方法将准备 n 量子比特态所需两量子比特门数量从 O(2^{2n}) 减少至 O(2^n)，实现了线路深度与错误概率的显著指数级降低。
• 对于编码 16 个经典数据点的 4 量子比特态，该线路仅使用 2 个 CNOT 门与 4 个单量子比特旋转门，基变换通过 Pauli-X 与 SWAP 门实现。
• Schmidt 系数直接由数据矩阵的奇异值导出，当 SVD 准确执行时可确保精确态制备。
• 尽管基变换步骤较为复杂，但通过已知的量子门分解方法是可行的，且 n 量子比特系统中两量子比特门数量被限制在 O(2^n) 以内。
• 通过将寄存器划分为不等长部分并应对所得矩阵应用 SVD，该方法可推广至奇数量子比特系统。
• 该方法可高效制备任意量子态，进而可作为更复杂量子算法（如量子机器学习或 Shor 算法）的输入。