[论文解读] Encoding the structure of many-body localization with matrix product operators

David Pekker, Bryan K. Clark|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2014

Quantum many-body systems被引用 3

一句话总结

本文提出，通过使用低秩维数的矩阵乘积算符（MPO）可高效编码多体局域化（MBL）系统的本征态，其中每个格点由两个矩阵描述：一个用于局部基态，另一个用于局部激发态。该MPO表示法能够捕捉MBL本征态的完整谱，实现大体系的精确对角化，并解释MBL的关键特性，如面积律纠缠、无热化及局域化的守恒量。

ABSTRACT

Anderson insulators are non-interacting disordered systems which have localized single particle eigenstates. The interacting analogue of Anderson insulators are the Many-Body Localized (MBL) phases. The natural language for representing the spectrum of the Anderson insulator is that of product states over the single-particle modes. We show that product states over Matrix Product Operators of small bond dimension is the corresponding natural language for describing the MBL phases. In this language all of the many-body eigenstates are encode by Matrix Product States (i.e. DMRG wave function) consisting of only two sets of low bond-dimension matrices per site: the $G_i$ matrix corresponding to the local ground state on site $i$ and the $E_i$ matrix corresponding to the local excited state. All $2^n$ eigenstates can be generated from all possible combinations of these matrices.

研究动机与目标

• 为多体局域化（MBL）本征态的完整谱寻找一种紧凑且高效的表示方法，类似于安德森绝缘体的乘积态描述。
• 通过利用张量网络结构，解决描述MBL本征态（其为非典型且不满足本征态热化假说（ETH））的挑战。
• 证明小秩维数的MPO可捕捉MBL哈密顿量的完整本征态谱，从而实现超越精确对角化极限的高效数值对角化。
• 提供一种自然的语言，用于理解MBL相中涌现的局域守恒量（l-bits）及非热化现象。
• 通过将形式化推广至更高维度的投影纠缠对态（PEPS），将该框架扩展至一维以外的体系。

提出的方法

• 使用每个格点由两个低秩维数张量构成的矩阵乘积态（MPS）来表示MBL本征态：$G_i^{\rho_i}$ 表示局部基态，$E_i^{\rho_i}$ 表示局部激发态。
• 通过在各格点上组合所有可能的 $G_i$ 和 $E_i$ 矩阵，构建类似乘积态结构的MPO，从而形成完整的本征态谱。
• 利用对角化哈密顿量的幺正变换 $U$ 的MPO表示，其中 $U$ 由与体系尺寸无关的秩维数的局域格点矩阵构成。
• 借助MPO结构证明，局部算符（如 $U\sigma_i^+U^\dagger$）仅在子扩展数量的本征态上非局域作用，从而解释非热化现象。
• 将局域守恒量（l-bits）构造为 $U \rho_{\text{product}} U^\dagger$，其中 $\rho_{\text{product}}$ 为局部自旋算符的乘积态，并证明其因MPO的有限秩维数而保持局域。
• 提出整个MBL谱可利用MPO高效表示与对角化，主要瓶颈在于需要更高秩维数的稀有区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 多体局域化相中本征态的完整谱能否通过紧凑且低秩维数的张量网络表示来描述？
• RQ2 对角化幺正算符 $U$ 的MPO结构如何解释MBL系统中非热化与局域化的现象？
• RQ3 MPO表示与MBL相中局域守恒量（l-bits）的涌现之间存在何种关系？
• RQ4 MPO形式化如何实现对MBL哈密顿量的高效数值对角化，从而突破精确对角化的限制？
• RQ5 稀有区域在限制MBL谱MPO表示所需秩维数方面起什么作用？

主要发现

• MBL本征态的完整谱可使用秩维数小且与体系尺寸无关的矩阵乘积算符（MPO）进行编码，其中每个格点仅贡献两个矩阵：一个用于局部基态，另一个用于局部激发态。
• 对角化幺正算符 $U$ 的MPO表示确保局部算符仅作用于子扩展数量的本征态，从而解释了非热化及激发态局域化的现象。
• MPO结构自然解释了MBL本征态中水平排斥的缺失，因为远距离激发之间的矩阵元因低秩维数而消失。
• 局域守恒量（l-bits）作为 $U \rho_{\text{product}} U^\dagger$ 涌现，其中 $\rho_{\text{product}}$ 为乘积态，且由于MPO的有限秩维数而保持局域。
• 遇到需要秩维数 $D \propto L^\xi$ 的稀有区域的概率为 $L \exp(-l/\xi)$，与精确对角化中的指数缩放相比，其为系统尺寸相关但多项式软化约束。
• MPO框架实现了对大规模MBL体系的高效对角化，通过紧凑的MPO表示可访问有限能量密度及动力学性质，显著超越了精确对角化的极限。