[论文解读] Endomorphism algebras of hyperelliptic jacobians and finite projective lines

Arsen Elkin, Yuri G. Zarhin|ArXiv.org|Aug 6, 2005

Finite Group Theory Research参考文献 29被引用 3

一句话总结

本文研究了与次数为 $ q+1 $ 的多项式相关的超椭圆雅可比簇的自同态代数，其中 $ q \geq 5 $ 为满足 $ q \equiv \pm 3 \mod 8 $ 的素幂，且其伽罗瓦群为 $ \mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_q) $。研究证明，在 $ \overline{K} $ 上，自同态代数要么是 $ \mathbb{Q} $，要么是实二次域；当 $ q \equiv 3 \mod 8 $ 时，雅可比簇 $ \overline{K} $-同构于一个具有复乘法 $ \mathbb{Q}(\sqrt{-q}) $ 的椭圆曲线的自积，从而在许多情况下实现绝对简单性。

ABSTRACT

We prove that the jacobian of a hyperelliptic curve y^2=f(x) is absolutely simple if deg(f)=q+1 where q is a power prime congruent to 5 modulo 8, the polynomial f(x) is irreducible over the ground field of characteristic zero and its Galois group is L_2(q).

研究动机与目标

• 确定与次数为 $ q+1 $ 的多项式 $ f(x) \in K[x] $ 相关的超椭圆雅可比簇 $ J(C_f) $ 的自同态代数 $ \mathrm{End}^0(J(C_f)) $ 的结构，其中 $ q $ 为素幂且 $ \mathrm{Gal}(f) \cong \mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_q) $。
• 分析 $ J(C_f) $ 为绝对简单时的条件，特别是当 $ q \equiv 3 \mod 8 $ 时。
• 在特征零情况下，对具有通过分式线性变换作用于 $ \mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q) $ 的伽罗瓦作用的此类雅可比簇，分类其可能的自同态代数。
• 构造 $ \mathbb{Q} $ 上具有绝对简单雅可比簇且自同态代数受控的超椭圆曲线的显式例子。

提出的方法

• 利用 $ \ell $-挠点 $ J(C_f)[\ell] $ 上的伽罗瓦表示，研究 $ \mathrm{Gal}(K) $ 在 $ \mathrm{End}^0(J(C_f)) $ 上的作用，特别是通过 $ \tilde{G}_{4,J(C_f),K} \subset \mathrm{GL}(J(C_f)[4]) $。
• 应用阿贝尔簇自同态代数理论的结果，包括 $ \mathrm{End}_K^0(J(C_f)) $ 在伽罗瓦群作用下的不变性以及域 $ K(J(C_f)[4]) $ 的作用。
• 采用群论技术，包括极小覆盖和普遍中心扩张，分析伽罗瓦群 $ \mathrm{Gal}(f) \cong \mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_q) $。
• 应用类域论和虚二次整环 $ \mathcal{O}_{-q} $ 中的理想理论，研究 $ \mathrm{End}^0(J(C_f)) $ 的结构，特别是在 $ q \equiv 3 \mod 8 $ 的情况下。
• 使用计算代数系统（如 MAGMA）验证 $ \mathbb{Q}(S) $ 上特定多项式族的伽罗瓦群和自同态代数。
• 构造显式多项式族 $ f_{q,S}(x) $，满足 $ \mathrm{Gal}(f_{q,S}) \cong \mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_q) $，并在 $ \mathbb{Q} $ 上分析其雅可比簇。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，超椭圆雅可比簇 $ J(C_f) $ 的自同态代数 $ \mathrm{End}^0(J(C_f)) $ 等于 $ \mathbb{Q} $ 或实二次域？
• RQ2 在何种情况下 $ J(C_f) $ 与一个具有复乘法 $ \mathbb{Q}(\sqrt{-q}) $ 的椭圆曲线的自积 $ \overline{K} $-同构？
• RQ3 当 $ \mathrm{Gal}(f) \cong \mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_q) $ 且 $ q \equiv 3 \mod 8 $ 时，$ \mathrm{End}^0(J(C_f)) $ 的结构是什么？
• RQ4 如何构造 $ \mathbb{Q} $ 上具有绝对简单雅可比簇且自同态代数受控的超椭圆曲线的显式例子？

主要发现

• 在特征为零时，当 $ n = q+1 $，$ q \geq 5 $，$ q \equiv \pm 3 \mod 8 $，且 $ \mathrm{Gal}(f) \cong \mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_q) $，有 $ \mathrm{End}^0(J(C_f)) $ 为 $ \mathbb{Q} $ 或实二次域，这意味着 $ J(C_f) $ 是绝对简单的。
• 若 $ q \equiv 3 \mod 8 $，则 $ J(C_f) $ 与一个具有复乘法 $ \mathbb{Q}(\sqrt{-q}) $ 的椭圆曲线的自积 $ \overline{K} $-同构，且自同态代数为 $ \mathbb{Q}(\sqrt{-q}) $。
• 当 $ q \geq 11 $ 且 $ q \equiv 3 \mod 8 $ 时，雅可比簇 $ J(C_f) $ 在 $ \mathbb{Q} $ 上是绝对简单的，此结论通过伽罗瓦表示和群论论证得以证明。
• 显式构造的多项式 $ f_{11,S}(x) $ 和 $ f_{13,S}(x) $ 分别生成了雅可比簇维数为 5 和 6 的超椭圆曲线，其在 $ \mathbb{Q} $ 上为绝对简单。
• 在所有 $ q \equiv \pm 3 \mod 8 $ 的情况下，$ J(C_f) $ 的自同态代数为 $ \mathbb{Q} $ 或实二次域，但当 $ q \equiv 3 \mod 8 $ 时，会出现复乘法结构。
• 使用 MAGMA 的计算验证表明，对于有理数特化 $ s = m/n $，伽罗瓦群保持为 $ \mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_q) $，且雅可比簇保持绝对简单。