[论文解读] Endomorphismes aleatoires dans les espaces projectifs II

Henry de Thélin|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文研究复射影空间 $\mathbb{P}^k(\mathbb{C})$ 上的随机全纯自同态，证明了随机 Green 电流 $T(f_0)$ 及其 $k$ 重自交 $\mu(f_0)$ 的存在性，后者构成一个随机不变测度。关键结果是：在乘积空间 $\mathbb{P}^N(\mathbb{C}) \times \mathbb{P}^k(\mathbb{C})$ 上，与该测度 $\alpha$ 相关的混合熵等于 $k\log d$，从而证明了最大熵性以及 Lyapunov 指数的下确界为 $\log d / 2$。该结果将经典确定性动力系统理论推广至具有遍历基动力系统的随机情形。

ABSTRACT

We study random holomorphic endomorphisms of P^k(C). This article is the second part of arXiv:1205.1601

研究动机与目标

• 将格林电流与测度理论从确定性全纯自同态推广至此类映射的随机复合形式。
• 为典型初始映射 $f_0$ 建立随机格林电流 $T(f_0)$ 及其关联测度 $\mu(f_0)$ 的存在性与不变性性质。
• 在斜积空间 $X = \mathbb{P}^N(\mathbb{C}) \times \mathbb{P}^k(\mathbb{C})$ 上定义并分析不变测度 $\alpha$ 的混合熵 $h_{\alpha,\text{mix}}$，并证明其达到理论上的上确界 $k\log d$。
• 通过体积增长估计与上同调估计，证明随机动力系统的双曲性，即 $\mu(f_0)$ 的 Lyapunov 指数下界为 $\log d / 2$。

提出的方法

• 在空间 $X = \mathbb{P}^N(\mathbb{C}) \times \mathbb{P}^k(\mathbb{C})$ 上定义斜积变换 $\tau(f,x) = (F(f), f(x))$，其中 $F$ 是映射空间上的可测映射，且具有不变遍历测度 $\Lambda$。
• 在条件 $\int \log \text{dist}(f, \mathcal{M}) \, d\Lambda(f) > -\infty$ 下，将随机格林电流 $T(f_0)$ 构造为 $\frac{(F_n)^*\omega}{d^{n+1}}$ 的弱极限，其中 $F_n = f_n \circ \cdots \circ f_0$。
• 通过电流的连续势能，定义随机不变测度 $\mu(f_0) = T(f_0)^k$。
• 通过关于 $\Lambda$ 对 $f$ 积分 $\mu(f)$，在 $X$ 上构造乘积测度 $\alpha$，并证明若 $\Lambda$ 是遍历的，则 $\alpha$ 关于 $\tau$ 是不变且遍历的。
• 使用 Gromov 的体积比较方法，估计射影子空间中 $\epsilon/2$-分离点集的基数，通过图 $\Gamma_n$ 的体积增长来控制此类点的数量。
• 应用上同调估计：$\int_R (f_{n_l-1} \circ \cdots \circ f_1)^*\omega \wedge \cdots \wedge (f_{n_{d_u}-1} \circ \cdots \circ f_1)^*\omega \leq n^{d_u} d^{-d_u} d^{n d_u}$，利用每个 $f_i$ 的次数为 $d$，因此其拉回 $\omega$ 同调于 $d^{n_l-1}\omega$ 的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有不变测度 $\Lambda$ 的基映射 $F$ 定义的随机动力系统下，对 $\Lambda$-几乎处处的初始映射 $f_0$，是否存在随机格林电流 $T(f_0)$？
• RQ2 在斜积空间上，不变测度 $\alpha$ 的混合熵 $h_{\alpha,\text{mix}}$ 的值是多少？它是否达到理论最大值 $k\log d$？
• RQ3 随机测度 $\mu(f_0)$ 的 Lyapunov 指数是否如确定性情形一样，下界为 $\log d / 2$？
• RQ4 能否通过体积增长估计与轨道空间中分离点数的上同调界，证明随机系统的双曲性？

主要发现

• 对 $\Lambda$-几乎处处的 $f_0$，随机格林电流 $T(f_0)$ 存在且具有连续势能，从而允许定义随机测度 $\mu(f_0) = T(f_0)^k$。
• 在 $X = \mathbb{P}^N(\mathbb{C}) \times \mathbb{P}^k(\mathbb{C})$ 上定义的测度 $\alpha$，由 $\alpha(B) = \int \mu(f)(B \cap \{f\} \times \mathbb{P}^k(\mathbb{C})) \, d\Lambda(f)$ 给出，若满足 $\int \log \text{dist}(f, \mathcal{M}) \, d\Lambda(f) > -\infty$，则关于斜积 $\tau$ 是不变且遍历的。
• 混合熵 $h_{\alpha,\text{mix}}$ 等于 $k\log d$，即最大可能值，从而证明 $\alpha$ 是最大混合熵测度。
• 通过反证法，利用体积增长估计与射影子空间中 $\epsilon/2$-分离点数的上同调界，证明了 $\mu(f_0)$ 的 Lyapunov 指数下界为 $\log d / 2$。
• 射影子空间 $R$ 中 $\epsilon/2$-分离点数的上界 $N' \leq \frac{n^{d_u} d^{-d_u} d^{n d_u}}{C(d_u) (\epsilon/4)^{2d_u}}$ 仅在 $\lambda_l \geq \log d / 2$ 时成立，否则导致矛盾，从而证明了双曲性。
• 该结果对 $d_u = 0$ 与 $d_u > 0$ 两种情形均成立，后者需借助 Gromov 方法的精细体积估计与上同调次数估计。