[论文解读] Enriched indexed categories

Michael Shulman|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用 20

一句话总结

本文引入了丰富化索引范畴——即同时在具有有限积的基范畴上索引且在索引单行范畴上丰富化的范畴。它发展了这些范畴中极限与上极限的正式理论，建立了 Yoneda 嵌入，并表明此类范畴具有自由上完备化，从而在一个统一的连贯框架中统一了经典的丰富化、内部和索引范畴理论。

ABSTRACT

We develop a theory of categories which are simultaneously (1) indexed over a base category S with finite products, and (2) enriched over an S-indexed monoidal category V. This includes classical enriched categories, indexed and fibered categories, and internal categories as special cases. We then describe the appropriate notion of "limit" for such enriched indexed categories, and show that they admit "free cocompletions" constructed as usual with a Yoneda embedding.

研究动机与目标

• 将经典的丰富化、内部和索引范畴理论统一为一个丰富化索引范畴的单一框架。
• 在丰富化索引范畴中定义极限与上极限的概念，使其同时推广加权极限和纤维化上极限。
• 通过 Yoneda 嵌入构造丰富化索引范畴的自由上完备化，扩展经典上完备化构造。
• 为参数化同伦论、等变同伦论以及拓扑相对数学等应用提供形式化的范畴论基础。
• 证明丰富化索引范畴支持类似于经典丰富化范畴论的丰富范畴论，包括范畴论工具如广义函子和虚拟设备。

提出的方法

• 将丰富化索引范畴形式化为既在具有有限积的基范畴 $\mathcal{S}$ 上索引，又在 $\mathcal{S}$-索引单行范畴 $\mathcal{V}$ 上丰富的范畴。
• 利用虚拟设备和广义函子的框架，以形式一致的方式定义加权极限与上极限。
• 为丰富化索引范畴构造 Yoneda 嵌入，将自由上完备化实现为预层范畴。
• 借助现有的形式范畴论工具——特别是 Shulman 关于框架双范畴和广义箭头设备的工作——从索引单行范畴出发。
• 定义宇宙变换和底层索引范畴，以关联不同的丰富化和推广。
• 引入 $\mathcal{V}$-纤维化和单行 $\mathcal{V}$-范畴，以支持迭代丰富化和高层构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将丰富化、内部和索引范畴统一为一个单一的范畴论框架？
• RQ2 在一个既索引又丰富的范畴中，极限与上极限的正确概念是什么？
• RQ3 能否通过 Yoneda 嵌入构造丰富化索引范畴的自由上完备化，类似于经典丰富化范畴论中的情形？
• RQ4 广义函子和虚拟设备的形式工具如何推广到丰富化索引范畴的设定中？
• RQ5 该理论在参数化或等变同伦论中的应用是什么，它们在丰富化索引设定中如何体现？

主要发现

• 丰富化索引范畴推广了经典的丰富化、内部和索引范畴，为参数化和相对设定下的范畴论提供了统一框架。
• 该理论支持形式化的加权极限与上极限概念，将经典丰富化范畴论扩展到索引和丰富化语境。
• 丰富化索引范畴的自由上完备化存在，并通过 Yoneda 嵌入到预层范畴中构造，与经典情形一致。
• $\mathcal{V}$-预层范畴在丰富化索引范畴上构成自由上完备化，其中 Yoneda 嵌入是全忠实的且保持上极限。
• 该理论通过虚拟设备和广义函子形式化，允许系统且普遍地构造范畴论概念。
• 应用包括参数化同伦论、等变同伦论以及拓扑相对数学，其中此类范畴自然作为参数化或全局结构的模型出现。