[论文解读] Entanglement-assisted capacity of a quantum channel and the reverse Shannon theorem

Charles H. Bennett, Peter W. Shor+2 more|ArXiv.org|Jun 8, 2001

Quantum Information and Cryptography参考文献 21被引用 16

一句话总结

本文推导出量子信道的纠缠辅助经典容量（$C_E$）的公式，表明其等于在使用共享纠缠时，输入与输出之间量子互信息的最大值。关键结果是 $C_E$ 由 $S(\rho) + S(\mathcal{N}(\rho)) - S(\rho, \mathcal{N}( ...\rho))$ 给出，其中联合熵通过纠缠纯化定义，且在纠缠辅助下，量子域中的反向香农定理成立。

ABSTRACT

The entanglement-assisted classical capacity of a noisy quantum channel is the amount of information per channel use that can be sent over the channel in the limit of many uses of the channel, assuming that the sender and receiver have access to the resource of shared quantum entanglement, which may be used up by the communication protocol. We show that this capacity is given by an expression parallel to that for the capacity of a purely classical channel: i.e., the maximum, over channel inputs $ρ$, of the entropy of the channel input plus the entropy of the channel output minus their joint entropy, the latter being defined as the entropy of an entangled purification of $ρ$ after half of it has passed through the channel. We calculate entanglement-assisted capacities for two interesting quantum channels, the qubit amplitude damping channel and the bosonic channel with amplification/attenuation and Gaussian noise. We discuss how many independent parameters are required to completely characterize the asymptotic behavior of a general quantum channel, alone or in the presence of ancillary resources such as prior entanglement. In the classical analog of entanglement assisted communication--communication over a discrete memoryless channel (DMC) between parties who share prior random information--we show that one parameter is sufficient, i.e., that in the presence of prior shared random information, all DMC's of equal capacity can simulate one another with unit asymptotic efficiency.

研究动机与目标

• 推导量子信道纠缠辅助经典容量（$C_E$）的闭式表达式。
• 证明 $C_E$ 由类似于经典互信息的公式给出，但使用量子熵和纠缠纯化。
• 研究所有具有相同 $C_E$ 的量子信道是否能以渐近单位效率相互模拟，从而引出量子反向香农猜想（QRSC）。
• 计算特定量子信道的 $C_E$，包括量子比特振幅阻尼信道和具有高斯噪声的玻色信道。
• 探讨共享纠缠在简化量子信道行为表征及减少描述渐近信道行为所需独立参数数量方面的作用。

提出的方法

• 将 $C_E$ 定义为对输入态 $\rho$ 的最大值，即量子互信息 $S(\rho) + S(\mathcal{N}(\rho)) - S(\rho, \mathcal{N}(\rho))$，其中联合熵通过信道处理一半后的 $\rho$ 的纠缠纯化来计算。
• 利用纠缠纯化概念定义联合熵 $S(\rho, \mathcal{N}(\rho))$，从而实现经典互信息的量子类比。
• 构建一种利用无噪声信道和共享纠缠来模拟噪声量子信道的协议，其通信开销在 $n$ 次使用时趋近于 $nC_E$。
• 在存在共享随机信息的条件下，证明经典离散无记忆信道（DMCs）的反向香农定理，表明容量相等的信道可彼此以单位渐近效率相互模拟。
• 将此结果推广至量子领域，提出所有具有相同 $C_E$ 的量子信道在共享纠缠下可彼此以单位渐近效率相互模拟（QRSC），从而推广经典结果。
• 将该框架应用于计算量子比特振幅阻尼信道和具有放大/衰减及高斯噪声的玻色信道的 $C_E$，利用已知信道参数和熵计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 一般量子信道的纠缠辅助经典容量（$C_E$）的精确公式是什么？
• RQ2 当存在共享纠缠时，经典反向香农定理能否推广到量子领域？
• RQ3 在纠缠辅助下，所有具有相同 $C_E$ 的量子信道是否具有等价的渐近模拟能力？
• RQ4 共享纠缠的存在如何影响描述量子信道渐近行为所需独立参数的数量？
• RQ5 特定量子信道（如振幅阻尼信道和具有高斯噪声的玻色信道）的纠缠辅助容量是多少？

主要发现

• 纠缠辅助经典容量 $C_E$ 由 $\max_{\rho} \left[ S(\rho) + S(\mathcal{N}(\rho)) - S(\rho, \mathcal{N}(\rho)) \right]$ 给出，其中 $S(\rho, \mathcal{N}(\rho))$ 是 $\rho$ 经信道处理一半后其纠缠纯化的熵。
• 对于量子比特振幅阻尼信道，$C_E$ 被显式计算，表明纠缠可显著提升经典通信速率。
• 对于具有放大/衰减及高斯噪声的玻色信道，$C_E$ 通过连续变量量子信息技术推导得出，证明了该公式的适用性不仅限于量子比特。
• 经典反向香农定理已得证明：在存在共享随机信息的条件下，任意两个容量相等的 DMC 可以以单位渐近效率相互模拟。
• 提出了量子反向香农猜想（QRSC）：在共享纠缠下，所有具有相同 $C_E$ 的量子信道可彼此以单位渐近效率相互模拟，推广了经典结果。
• 作者表明，经典反馈无法提高 $C_E$，因为若其能提升无噪声信道的容量，将违反因果性，而这一点已被 QRSC 所排除。