[论文解读] Entanglement-assisted quantum error-correcting codes from units

Ted Hurley, Donny Hurley+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文提出了一种构造性方法，利用有限域上的范德蒙德矩阵和傅里叶矩阵，生成具有最大距离可分（MDS）特性的纠缠辅助量子纠错码（EAQECC）。通过从n×n的傅里叶矩阵中选取r个连续或等差数列的行，并应用1.1节构造方法，作者实现了形式为[[n,r,d;c]]的MDS EAQECC，其中d = n−r+1且c = n−r，从而在n+1为素数时，实现高码率、高距离的编码，并可通过素数阶域上的高效模运算实现。

ABSTRACT

Entanglement-assisted quantum error-correcting codes (EAQECCs) to desired rate, error-correcting capability and maximum shared entanglement are constructed. Thus for a required rate $R$, required error-correcting capability to correct $t$ errors, mds (maximum distance separable) EAQECCs of the form $[[n,r,d;c]]$ with $R=\frac{r}{n}, d\geq (2t+1), c = (n-r), d= (n-r+1)$ are constructed. Series of such codes may be constructed where the rate and the relative distance approach non-zero constants as $n$ approaches infinity. The codes may also be constructed over prime order fields in which modular arithmetic may be employed.

研究动机与目标

• 构造具有指定码率、纠错能力及最大共享纠缠的纠缠辅助量子纠错码（EAQECC）。
• 开发一种系统化方法，生成形式为[[n,r,d;c]]且满足d = n−r+1和c = n−r的MDS EAQECC。
• 通过在满足p = n+1为素数的素数阶域GF(p)上构造码，实现基于模运算的高效实现。
• 证明此类码具有正净码率，从而可通过已有结果推导出催化型量子码。

提出的方法

• 利用有限域上n×n傅里叶矩阵的结构，从r个连续或等差数列的行中生成线性码。
• 利用基本恒等式F_n F_n^* = nI_n，推导傅里叶矩阵行空间与列空间之间的正交性与秩性质。
• 应用1.1节构造方法：给定两个经典码C与D，其校验矩阵分别为H与K，则形成EAQECC [[n,r1+r2−n+c, min{d1,d2};c]]，其中c = rank(HK^T)。
• 通过选取傅里叶矩阵中r行生成的码，且满足arithmetic progression下gcd(n,k)=1，确保d = n−r+1，从而保证MDS性质。
• 在q为素数幂的GF(q)上构造码，特别地在GF(p)上构造码，其中p = n+1为素数，以实现模运算。
• 通过内积关系e_i f_j = nδ_ij验证HK^T的秩，确保c = n−r。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统化地构造出具有指定码率R、纠错能力t及最大共享纠缠c的MDS EAQECC？
• RQ2 如何在素数阶域上构造EAQECC，以实现高效的模运算计算？
• RQ3 在何种参数条件下可确保净码率(r−c)/n为正，从而实现催化型量子码？
• RQ4 该构造能否超越连续行的限制，推广至傅里叶矩阵中等差数列行的选取，同时保持MDS性质？
• RQ5 与标准量子码相比，纠缠在性能提升方面有多显著，特别是在码率与距离方面？

主要发现

• 在GF(81)上利用80阶傅里叶矩阵构造出[[80,70,11;10]] MDS EAQECC，码率为7/8，净码率为6/8。
• 在GF(89)上利用模运算构造出[[88,77,12;11]] MDS EAQECC，其中89为素数，3是模89的本原根。
• 在GF(3^5)上构造出[[11,4,5;1]] MDS EAQECC，展示了低纠缠码在d=5时的性能，净码率为3/11。
• 在GF(29)上构造出[[28,16,13;12]] MDS EAQECC，其中28+1=29为素数，2是模29的本原根，支持高效的模运算计算。
• 该构造确保d = n−r+1且c = n−r，满足EAQECC的MDS条件。
• 所有构造的码均具有正净码率，可通过已有结果推导出催化型量子码。