[论文解读] Entanglement entropies of an interval in the free Schr\"odinger field theory on the half line

Mihail Mintchev, Diego Pontello+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2022

Quantum many-body systems参考文献 128被引用 11

一句话总结

本论文研究了在零温与有限密度下，半无限线上无自旋的Schrödinger费米场论中，与边界相邻的区间之纠缠熵。利用从贝塞尔核τ函数和Painlevé III超越函数导出的精确解析展开式，论文表明纠缠熵由于粒子密度中的Friedel振荡而表现出振荡行为，这与全线上单调行为形成对比。关键结果是在无量纲参数η = RkF的小和大参数区域中，对纠缠熵进行了精确的解析描述，经数值验证，并扩展至具有整数指数的Lifshitz模型。

ABSTRACT

We study the entanglement entropies of an interval adjacent to the boundary of the half line for the free fermionic spinless Schr\"odinger field theory at finite density and zero temperature, with either Neumann or Dirichlet boundary conditions. They are finite functions of the dimensionless parameter given by the product of the Fermi momentum and the length of the interval. The entanglement entropy displays an oscillatory behaviour, differently from the case of the interval on the whole line. This behaviour is related to the Friedel oscillations of the mean particle density on the half line at the entangling point. We find analytic expressions for the expansions of the entanglement entropies in the regimes of small and large values of the dimensionless parameter. They display a remarkable agreement with the curves obtained numerically. The analysis is extended to a family of free fermionic Lifshitz models labelled by their integer Lifshitz exponent, whose parity determines the properties of the entanglement entropies. The cumulants of the local charge operator and the Schatten norms of the underlying kernels are also explored.

研究动机与目标

• 研究在有限密度与零温下，半无限线上无自旋的Schrödinger费米场论中，与边界相邻的区间的纠缠熵。
• 确定边界条件（Neumann或Dirichlet）如何影响纠缠熵及其对无量纲参数η = RkF的依赖关系。
• 利用谱理论与特殊函数，推导在小η与大η区域中纠缠熵的解析表达式。
• 将分析扩展至具有整数Lifshitz指数的自由费米子Lifshitz模型族，并探讨其纠缠性质。

提出的方法

• 研究采用复制技巧与Rényi熵，通过约化密度矩阵的幂的迹来计算纠缠熵。
• 利用贝塞尔核的谱理论与Painlevé III超越函数，推导出在小η与大η区域中纠缠熵的精确解析展开式。
• 分析基于利用掠面椭球波函数（PSWF）及其在边界正则化系统中的推广求解正弦核谱问题。
• 作者应用Kyiv公式法求解Painlevé III方程，以获得贝塞尔核τ函数的完整渐近展开式。
• 通过τ函数方法与PSWF方法，推导出纠缠熵及其累积量的解析表达式，并通过一致性检验进行验证。
• 结果被扩展至具有整数指数的Lifshitz模型，其中指数的奇偶性决定了纠缠熵的定性行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在自由费米子Schrödinger场论中，半无限线上与边界相邻的区间的纠缠熵，与全线上区间的纠缠熵有何不同？
• RQ2 半无限线上纠缠熵的振荡行为的起源是什么？其与粒子密度中Friedel振荡的关系如何？
• RQ3 能否利用特殊函数与谱理论，在小η与大η（η = RkF）区域中推导出纠缠熵的解析表达式？
• RQ4 在具有整数Lifshitz指数的自由费米子Lifshitz模型族中，纠缠熵及其累积量的行为如何？
• RQ5 结果在多大程度上与格点模型的连续极限以及复制极限与双标度等一致性检验相一致？

主要发现

• 在半无限线上，纠缠熵由于粒子密度中的Friedel振荡而表现出振荡行为，这与全线上观察到的单调增长形成鲜明对比。
• 纠缠熵是无量纲参数η = RkF的有限函数，其在小η区域的解析展开式通过PSWF与τ函数方法推导得出。
• 在大η区域，纠缠熵的展开式源于贝塞尔核τ函数的渐近行为，次主导项通过Painlevé III超越函数计算得出。
• 在小η与大η区域中，纠缠熵的解析表达式与数值计算结果表现出极好的一致性。
• 振荡结构与边界附近费米子模式的干涉有关，振荡幅度由边界条件（Neumann或Dirichlet）决定。
• 对于具有整数指数的Lifshitz模型，指数的奇偶性决定了纠缠熵的定性行为，偶数与奇数指数分别呈现出不同的模式。