[论文解读] Entanglement entropies of an interval in the free Schr\"odinger field theory at finite density

Mihail Mintchev, Diego Pontello+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2022

Quantum many-body systems参考文献 210被引用 21

一句话总结

本论文研究了在有限密度下具有 z=2 的非相对论性自由费米子 Schrödinger 场论中的纠缠熵，表明纠缠熵依赖于一个与由费米动量和区间长度定义的矩形区域的相空间面积成比例的单一无量纲参数。通过使用扁球面波函数和 tau 函数渐近展开，推导出小和大相空间面积下的解析展开式，揭示了非相对论性版本的熵 C 函数并非单调，且 Lifshitz 指数 z 的奇偶性决定了此类自由费米子模型中的纠缠结构。

ABSTRACT

We study the entanglement entropies of an interval on the infinite line in the free fermionic spinless Schr\"odinger field theory at finite density and zero temperature, which is a non-relativistic model with Lifshitz exponent $z=2$. We prove that the entanglement entropies are finite functions of one dimensionless parameter proportional to the area of a rectangular region in the phase space determined by the Fermi momentum and the length of the interval. The entanglement entropy is a monotonically increasing function. By employing the properties of the prolate spheroidal wave functions of order zero or the asymptotic expansions of the tau function of the sine kernel, we find analytic expressions for the expansions of the entanglement entropies in the asymptotic regimes of small and large area of the rectangular region in the phase space. These expansions lead to prove that the analogue of the relativistic entropic $C$ function is not monotonous. Extending our analyses to a class of free fermionic Lifshitz models labelled by their integer dynamical exponent $z$, we find that the parity of this exponent determines the properties of the bipartite entanglement for an interval on the line.

研究动机与目标

• 理解具有 Lifshitz 缩放（z=2）的非相对论性量子场论中的双体纠缠，特别是有限密度下的情况。
• 建立纠缠熵对无量纲相空间面积参数 η 的依赖关系。
• 利用特殊函数和渐近分析，推导出小 η 和大 η 区域下纠缠熵的解析表达式。
• 研究非相对论性版本的熵 C 函数是否表现出单调性，如同在相对论性场论中一样。
• 将分析推广至具有整数 z 的自由费米子 Lifshitz 模型，确定 z 的奇偶性如何影响纠缠结构。

提出的方法

• 该研究采用有限区间上的正弦核积分算子，其本征值决定了纠缠谱。
• 使用零阶扁球面波函数分析正弦核的谱问题。
• 通过渐近展开计算正弦核的 tau 函数，特别是在小和大 η 极限下。
• 利用 Fisher-Hartwig 猜想及其推广，将格点模型结果与连续极限联系起来。
• 通过复制技巧和谱 zeta 函数技术计算纠缠熵和 Rényi 熵。
• 本文将结果扩展至一般的整数 Lifshitz 指数 z，分析奇数和偶数 z 下的模哈密顿量和纠缠结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限密度的自由 Schrödinger 场论中，纠缠熵如何依赖于相空间面积参数 η？
• RQ2 在连续极限下，纠缠熵是否有限且定义良好？它们在小和大 η 区域下的解析形式是什么？
• RQ3 非相对论性版本的熵 C 函数是否沿 η 生成的流表现出单调递减，如同在相对论性 CFT 中一样？
• RQ4 Lifshitz 指数 z 的奇偶性如何影响自由费米子模型中双体纠缠的结构？
• RQ5 能否将 XX 自旋链在双缩放极限 η = κF L 下的格点结果与本文推导出的连续解析表达式相匹配？

主要发现

• 纠缠熵是无量纲相空间面积参数 η 的有限且单调递增函数。
• 在小 η 极限下，纠缠熵表现出与 log(η) 成比例的对数发散，其普适系数由正弦核的 tau 函数导出。
• 在大 η 极限下，纠缠熵趋近于一个常数值，次主导修正由涉及多 polylogarithm 和伯努利数的级数描述。
• 非相对论性版本的熵 C 函数并非单调，与相对论性 CFT 中的行为相矛盾。
• 对于具有整数 z 的自由费米子 Lifshitz 模型，z 的奇偶性决定了纠缠谱的定性结构以及模哈密顿量的行为。
• 通过将连续解析展开与双缩放极限 η = κF L 下的格点结果匹配，验证了结果，显示出与已知 Fisher-Hartwig 渐近行为的一致性。