[论文解读] Entanglement spectrum of a topological phase in one dimension

Frank Pollmann, Erez Berg+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2009

Quantum many-body systems被引用 4

一句话总结

本文表明，一维自旋-1链中的Haldane相具有由时间反演、二面体或键中心反演对称性保护的纠缠谱双重简并，该简并性在对称性未被破坏时持续存在，是拓扑相的稳健且普遍的特征，即使传统序参量消失亦成立。

ABSTRACT

We show that the Haldane phase of S=1 chains is characterized by a double degeneracy of the entanglement spectrum. The degeneracy is protected by a set of symmetries (either the dihedral group of $π$-rotations about two orthogonal axes, time-reversal symmetry, or bond centered inversion symmetry), and cannot be lifted unless either a phase boundary to another, "topologically trivial", phase is crossed, or the symmetry is broken. More generally, these results offer a scheme to classify gapped phases of one dimensional systems. Physically, the degeneracy of the entanglement spectrum can be observed by adiabatically weakening a bond to zero, which leaves the two disconnected halves of the system in a finitely entangled state.

研究动机与目标

• 建立一种超越传统序参量的、基于波函数的Haldane相普遍表征方法。
• 研究纠缠谱是否可作为具有能隙、对称性保护的拓扑相的拓扑不变量。
• 确定保护纠缠谱双重简并性的最小对称性集合。
• 探索通过绝热键减弱实现纠缠简并的物理可实现性。
• 在对称性约束下，基于纠缠谱的结构对一维系统中的能隙相进行分类。

提出的方法

• 通过系统二分后对约化密度矩阵进行对角化，分析AKLT态及其他Haldane相哈密顿量的纠缠谱。
• 识别出纠缠谱中的双重简并性由时间反演对称性、二面体对称性（π旋转）或键中心反演对称性保护。
• 利用矩阵乘积态（MPS）形式表示基态，并在反演对称性下相位φ_I = π时推导出爱朗斯坦分解。
• 应用幺正变换表明，只要对称性保持不变，该简并性在哈密顿量形变下依然稳健。
• 证明通过绝热将键减弱至零后，纠缠熵恰好为ln(2)，证实了该简并性的可观测物理特征。
• 证明仅反演对称性即可保护该双重简并性，即使在无边界模态或自旋序参量的情况下亦成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 纠缠谱能否作为具有能隙的一维相的普遍拓扑不变量？
• RQ2 保护Haldane相纠缠谱双重简并性的必要且充分对称性是什么？
• RQ3 当传统序参量（如自旋序）被破坏的局域微扰下，纠缠简并性是否依然稳健？
• RQ4 能否通过绝热键减弱物理观测到纠缠简并性？
• RQ5 在缺乏边界态或非局域序参量的情况下，仅反演对称性是否足以保护拓扑序？

主要发现

• Haldane相的纠缠谱表现出由时间反演、二面体或键中心反演对称性保护的稳健双重简并。
• 只要对称性未被破坏，该简并性在任意局域哈密顿量形变下均持续存在，表明其具有拓扑稳定性。
• 仅反演对称性即可保护双重简并性，即使系统缺乏边界模态或自旋序。
• 通过绝热断裂键后，纠缠熵恰好为ln(2)，为该拓扑相提供了可测量的物理特征。
• 纠缠谱编码了波函数的非局域信息，因为简并本征态在对称群下变换为非平凡的投影表示。
• 在一维系统中，能隙相的分类可系统地基于对称群作用下纠缠谱的简并结构。