[论文解读] Entropy and the Typicality of Universes

Julian Barbour, Tim Koslowski+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2015

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 33被引用 19

一句话总结

本文提出，热力学第二定律并非源于特殊的初始条件，而是源于自引力系统的一个基本动力学特征：即存在一个唯一的最大无序态——雅努斯点（Janus point），它将解分为两个时间不对称的部分。通过关系式N体问题，作者引入了一种新颖的、尺度不变的熵类量——'entaxy'（熵熵），该量在趋近雅努斯点时单调减小，从而使得子系统中传统熵的增加成为可能，因此在无需微调的情况下解释了时间之箭。

ABSTRACT

The universal validity of the second law of thermodynamics is widely attributed to a finely tuned initial condition of the universe. This creates a problem: why is the universe atypical? We suggest that the problem is an artefact created by inappropriate transfer of the traditional concept of entropy to the whole universe. Use of what we call the relational $N$-body problem as a model indicates the need to employ two distinct entropy-type concepts to describe the universe. One, which we call entaxy, is novel. It is scale-invariant and decreases as the observable universe evolves. The other is the algebraic sum of the dimensionful entropies of branch systems (isolated subsystems of the universe). This conventional additive entropy increases. In our model, the decrease of entaxy is fundamental and makes possible the emergence of branch systems and their increasing entropy. We have previously shown that all solutions of our model divide into two halves at a unique `Janus point' of maximum disorder. This constitutes a common past for two futures each with its own gravitational arrow of time. We now show that these arrows are expressed through the formation of branch systems within which conventional entropy increases. On either side of the Janus point, this increase is in the same direction in every branch system. We also show that it is only possible to specify unbiased solution-determining data at the Janus point. Special properties of these `mid-point data' make it possible to develop a rational theory of the typicality of universes whose governing law, as in our model, dictates the presence of a Janus point in every solution. If our self-gravitating universe is governed by such a law, then the second law of thermodynamics is a necessary direct consequence of it and does not need any special initial condition.

研究动机与目标

• 解决一个悖论：尽管热力学第二定律具有普适性，但宇宙为何看起来是反常的。
• 挑战在宇宙学中对加法熵的使用，认为由于缺乏外部参考，对整个宇宙而言加法熵是未定义的。
• 表明时间不对称性与时间之箭可自然地从时间对称的定律中产生，当宇宙经过最大无序态的雅努斯点时。
• 基于形状空间的余切丛的射影化空间上的有界测度，为宇宙建立一个严格的典型性理论。
• 以雅努斯点处的中点数据存在为基础，用动力学原理取代对过去假设的需求。

提出的方法

• 将宇宙建模为关系式N体系统，其中仅相对构型及其变化率有意义，从而消除绝对时间与尺度。
• 定义一种新的熵类量——'entaxy'，其具有尺度不变性，并在向雅努斯点趋近时单调递减。
• 使用正则量子化与规范固定技术，通过形状空间的射影余切丛 $PT^{*}\mathsf{S}$ 推导出解空间上的自然有界测度。
• 在 $PT^{*}\mathsf{S}$ 上存在有限自然测度的前提下，应用拉普拉斯的等可能性原则，以定义典型性。
• 证明雅努斯点处的中点数据具有尺度不变性且无冗余，与 $PT^{*}\mathsf{S}$ 上的点一一对应，从而支持一个合理的概率测度。
• 推导出约束（哈密顿量、动量、尺度）的法德夫-波波夫行列式与狄拉克函数，将测度约化为 $PT^{*}\mathsf{S}$ 上的有限且物理上有意义的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从基本动力学定律中推导出热力学第二定律，而无需依赖特殊的初始条件？
• RQ2 雅努斯点（最大无序态）在时间对称的动力系统中如何生成时间不对称性？
• RQ3 当解空间连续且无界时，如何构建一个关于宇宙的自洽典型性理论？
• RQ4 描述自引力宇宙全局演化时，正确的熵类量是什么？它与传统加法熵有何不同？
• RQ5 为何雅努斯点是此类系统中唯一能指定无偏、决定解的中点数据的点？

主要发现

• 在关系式N体问题的每一个解中都存在一个雅努斯点，这确保了时间不对称性是动力学定律的直接结果，而非初始条件。
• entaxy 是一种新颖的尺度不变熵类量，它在向雅努斯点趋近时单调递减，而所有子系统在该点两侧的常规加法熵均单调增加。
• 解空间被赋予了在 $PT^{*}\mathsf{S}$ 上的有限自然测度，从而通过拉普拉斯等可能性原则，实现了数学上严谨的典型性理论。
• 雅努斯点处的中点数据具有尺度不变性且无冗余，与 $PT^{*}\mathsf{S}$ 上的点一一对应，支持了合理的概率测度。
• 最终在 $PT^{*}\mathsf{S}$ 上的测度是有限的，形式为 $\sigma = \sin\psi\,{\rm d}\psi{\rm d}\phi{\rm d}\chi$，由形状动量的单位范数约束导出。
• 该理论表明，当宇宙受时间对称定律支配且存在雅努斯点时，热力学第二定律是动力学定律的必然结果，从而消除了对过去假设的需求。