[论文解读] Entropy-bounded solutions to the one-dimensional heat conductive compressible Navier-Stokes equations with far field vacuum

Jinkai Li, Zhouping Xin|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2020

Navier-Stokes equation solutions参考文献 39被引用 6

一句话总结

该论文建立了在一维热传导可压缩纳维-斯托克斯方程具有远场真空条件下强解的全局存在性与唯一性，证明了当初始密度衰减不快于 $ O(1/x^2) $ 时，熵在所有时间上保持一致有界。其关键创新在于针对退化抛物方程控制熵界，应用了奇异加权能量估计与一种德·乔治类型迭代技术。

ABSTRACT

In the presence of vacuum, the physical entropy for polytropic gases behaves singularly and it is thus a challenge to study its dynamics. It is shown in this paper that the boundedness of the entropy can be propagated up to any finite time provided that the initial vacuum presents only at far fields with sufficiently slow decay of the initial density. More precisely, for the Cauchy problem of the one dimensional heat conductive compressible Navier-Stokes equations, the global well-posedness of strong solutions and uniform boundedness of the corresponding entropy are established, as long as the initial density vanishes only at far fields with a rate no more than $O(\frac{1}{x^2})$. The main tools of proving the uniform boundedness of the entropy are some singularly weighted energy estimates carefully designed for the heat conductive compressible Navier-Stokes equations and an elaborate De Giorgi type iteration technique for some classes of degenerate parabolic equations. The De Giorgi type iterations are carried out to different equations in establishing the lower and upper bounds of the entropy.

研究动机与目标

• 建立一维热传导可压缩纳维-斯托克斯方程强解的全局适定性，当初始密度仅在空间无穷远处趋于零时。
• 研究在远场真空存在下熵有界性的传播，此时熵通常会变得奇异。
• 通过发展新型奇异加权能量估计，克服由于真空导致的系统退化。
• 将德·乔治迭代技术推广至不同的退化抛物方程，以同时控制熵的上下界。
• 证明在初始密度衰减速率不快于 $ O(1/x^2) $ 的条件下，熵在时间上保持一致有界。

提出的方法

• 推导适用于热传导可压缩纳维-斯托克斯方程的奇异加权能量估计，特别处理真空附近出现的退化现象。
• 应用一种德·乔治型迭代方案，建立熵的逐点有界性，该方案适配于熵演化中出现的退化抛物方程结构。
• 以熵方程 $ ho(s_t + us_x) - rac{ heta_x}{ heta}_x = rac{1}{ heta}( heta_x^2 + heta |u_x|^2) $ 作为迭代过程的核心方程。
• 实施两阶段德·乔治迭代：第一阶段控制 $ heta $ 的下界，第二阶段控制其上界，从而确保熵的正则性。
• 构造序列 $ heta_{ar{ ho}_0 + d} $ 以控制 $ heta $ 的增长，利用初始密度 $ ho_0 o 0 $ 随 $ |x| o ty $ 的衰减速率。
• 采用能量估计 $ Q_ ho o 0 $ 当 $ ho o ar{ ho}_0 + d $，从而导出 $ heta $ 的一致有界性，进而得到熵 $ s $ 的一致有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当初始密度仅在空间无穷远处趋于零时，一维热传导可压缩纳维-斯托克斯方程的强解是否能全局存在？
• RQ2 在远场真空存在下，初始密度在无穷远处以何种衰减速率时，熵可保持对所有时间一致有界？
• RQ3 德·乔治迭代技术能否被适配以同时控制退化抛物系统中温度与熵的上下界？
• RQ4 为处理密度在无穷远处趋于零时系统的退化性，需要何种奇异能量估计？
• RQ5 当真空仅存在于无穷远处时，能否从初始数据将熵有界性传播至所有有限时间？

主要发现

• 在一维热传导可压缩纳维-斯托克斯方程具有远场真空的条件下，若初始密度衰减速率不快于 $ O(1/x^2) $，则全局强解存在。
• 熵在时间上保持一致有界，其显式上界依赖于 $ ar{ ho}_0 $、$ ar{J}_T $、$ ar{M}_T $ 和 $ ar{ ho}_0 + d $，其中 $ d $ 为依赖于初始数据与时间 $ T $ 的有限常数。
• 通过将新型德·乔治型迭代应用于 $ heta $ 的退化抛物方程，实现了熵的有界性，确保了其上下界。
• 构造了奇异加权能量估计，以控制低密度区域中 $ heta $ 与 $ u_x $ 的增长，从而实现一致有界性的证明。
• 该结果扩展了先前工作，表明在密度在无穷远处缓慢衰减时，适定性与熵有界性在齐次与非齐次空间中均成立。
• 证明中建立了 $ f( ho_0 + d) = 0 $ 的迭代关系，意味着 $ heta $ 被逐点有界，从而实现熵的一致控制。