[论文解读] Entropy, Determinants, and L2-Torsion

Hanfeng Li, Andreas Thom|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 47被引用 5

一句话总结

本文建立了可约群上代数群作用的熵与 $L^2$-挠率之间的基本等式，证实了Deninger的猜想：$\mathbb{Z}\Gamma/\mathbb{Z}\Gamma f$ 的庞特里亚金对偶上的主代数作用的熵等于 $f$ 的Fuglede-Kadison行列式的对数。关键结果证明，对于任意可约群 $\Gamma$ 和任意类型为FL且欧拉示性数为零的 $\mathbb{Z}\Gamma$-模 $\mathcal{M}$，$\Gamma$ 在 $\widehat{\mathcal{M}}$ 上的作用的熵等于 $\mathcal{M}$ 的 $L^2$-挠率，从而解决了Lück长期以来的猜想，并推广了关于熵与Mahler测度的经典结果。

ABSTRACT

We show that for any amenable group Γand any ZΓ-module M of type FL with vanishing Euler characteristic, the entropy of the natural Γ-action on the Pontryagin dual of M is equal to the L2-torsion of M. As a particular case, the entropy of the principal algebraic action associated with the module ZΓ/ZΓf is equal to the logarithm of the Fuglede-Kadison determinant of f whenever f is a non-zero-divisor in ZΓ. This confirms a conjecture of Deninger. As a key step in the proof we provide a general Szegő-type approximation theorem for the Fuglede-Kadison determinant on the group von Neumann algebra of an amenable group. As a consequence of the equality between L2-torsion and entropy, we show that the L2-torsion of a non-trivial amenable group with finite classifying space vanishes. This was conjectured by Lück. Finally, we establish a Milnor-Turaev formula for the L2-torsion of a finite Δ-acyclic chain complex.

研究动机与目标

• 解决Deninger的猜想，即主代数作用在可约群上的熵等于定义元素的Fuglede-Kadison行列式的对数。
• 为欧拉示性数为零的类型FL $\mathbb{Z}\Gamma$-模建立拓扑熵与 $L^2$-挠率之间的一般联系。
• 证明具有有限分类空间的非平凡可约群的 $L^2$-挠率消失，从而证实Lück的猜想。
• 开发一种Szegö型逼近定理，用于可约群冯诺依曼代数上的Fuglede-Kadison行列式，作为关键技术工具。
• 将Milnor-Turaev公式推广至具有有限 $\Delta$-无挠链复形的 $L^2$-挠率。

提出的方法

• 利用可约群中的F{ø}lner序列，建立Fuglede-Kadison行列式的一般Szegö型逼近定理。
• 利用逼近定理，通过零点附近的谱估计，将代数作用的熵与Fuglede-Kadison行列式关联起来。
• 通过拉普拉斯算子的Fuglede-Kadison行列式，定义类型FL且欧拉示性数为零的 $\mathbb{Z}\Gamma$-模的 $L^2$-挠率。
• 通过引入Haagerup-Schultz代数 $\mathcal{N}\Gamma^\Delta$ 的新代数框架，将 $L^2$-挠率重新解释为经典挠率不变量。
• 通过群扩张上的归纳法与消解技巧，证明具有有限分类空间的可约群的 $L^2$-挠率消失。
• 通过分析链复形的 $\Delta$-无挠消解，推导出 $L^2$-挠率的Milnor-Turaev型公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意可约群 $\Gamma$ 和非零因子 $f$，$\Gamma$ 在 $\widehat{\mathbb{Z}\Gamma/\mathbb{Z}\Gamma f}$ 上的主代数作用的熵是否等于 $f$ 的Fuglede-Kadison行列式的对数？
• RQ2 具有有限分类空间的非平凡可约群的 $L^2$-挠率是否为零，如Lück所猜想？
• RQ3 欧拉示性数为零的类型FL $\mathbb{Z}\Gamma$-模的 $L^2$-挠率是否可表示为该模在庞特里亚金对偶上关联代数作用的熵？
• RQ4 在可约群上的 $\Delta$-无挠链复形背景下，$L^2$-挠率是否满足Milnor-Turaev公式？
• RQ5 Fuglede-Kadison行列式是否能通过可约群中F{ø}lner集上的谱数据逼近，从而推广经典Szegö定理？

主要发现

• 对于任意欧拉示性数为零的类型FL $\mathbb{Z}\Gamma$-模 $\mathcal{M}$，$\Gamma$ 在 $\mathcal{M}$ 的庞特里亚金对偶上的作用的熵等于 $\mathcal{M}$ 的 $L^2$-挠率，从而证实了Deninger的猜想。
• 对于任意可约群 $\Gamma$ 和非零因子 $f \in \mathbb{Z}\Gamma$，$X_f = \widehat{\mathbb{Z}\Gamma/\mathbb{Z}\Gamma f}$ 上的主代数作用的熵为 $\log \det_{\mathcal{N}\Gamma} f$，即Fuglede-Kadison行列式的对数。
• 任意具有有限分类空间的非平凡可约群 $\Gamma$ 的 $L^2$-挠率消失，从而证实了Lück的猜想。
• 在可约群的群冯诺依曼代数上，建立了Fuglede-Kadison行列式的通用Szegö型逼近定理，利用F{ø}lner序列。
• 证明了有限 $\Delta$-无挠链复形的 $L^2$-挠率满足Milnor-Turaev公式，从而将经典挠率恒等式推广至 $L^2$ 设置。
• 通过群扩张上的归纳法，证明当 $\Gamma$ 是具有有限分类空间的非平凡可约群时，平凡 $\mathbb{Z}\Gamma$-模 $\mathbb{Z}$ 的 $L^2$-挠率消失。