[论文解读] Reinterpretation and Extension of Entropy Correction Terms for Residual Distribution and Discontinuous Galerkin Schemes.

Rémi Abgrall, Philipp Öffner+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2019

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 49被引用 15

一句话总结

本文通过在SBP-SAT框架内将熵校正项表述为优化问题的解，将熵校正项扩展至残差分配格式和间断伽辽金格式。该研究为熵不等式、多重约束以及动能保持提供了显式解，并采用延迟校正方法实现了完全离散的熵守恒/耗散格式，从而为双曲守恒律提供了系统化的结构保持离散化方法。

ABSTRACT

For the general class of residual distribution (RD) schemes, including many finite element (such as continuous/discontinuous Galerkin) and flux reconstruction methods, an approach to construct entropy conservative/ dissipative semidiscretizations by adding suitable correction terms has been proposed by Abgrall (J.~Comp.~Phys. 372: pp. 640--666, 2018). In this work, the correction terms are characterized as solutions of certain optimization problems and are adapted to the SBP-SAT framework, focusing on discontinuous Galerkin methods. Novel generalizations to entropy inequalities, multiple constraints, and kinetic energy preservation for the Euler equations are developed and tested in numerical experiments. For all of these optimization problems, explicit solutions are provided. Additionally, the correction approach is applied for the first time to obtain a fully discrete entropy conservative/dissipative RD scheme. Here, the application of the deferred correction (DeC) method for the time integration is essential. This paper can be seen as describing a systematic method to construct structure preserving discretization, at least for the considered example.

研究动机与目标

• 将残差分配格式的熵校正项推广至现有框架之外，特别是针对间断伽辽金方法。
• 解决高阶格式中熵守恒/耗散半离散化系统构建方法的缺乏问题。
• 将校正技术扩展至欧拉方程中的多重约束和动能保持。
• 通过时间积分的延迟校正（DeC）方法，开发完全离散的熵守恒/耗散格式。
• 为双曲守恒律中的结构保持离散化提供一种系统化、基于优化的框架。

提出的方法

• 将熵校正项表述为约束优化问题的解，以确保熵稳定性。
• 将校正方法适配至SBP-SAT框架，以在间断伽辽金格式中确保稳定性和守恒性质。
• 推导出在熵不等式约束和多重约束下校正项的显式解析解。
• 通过在优化框架中引入额外约束，提出一种新方法以在欧拉方程中保持动能。
• 采用延迟校正（DeC）方法进行时间积分，以实现完全离散的熵守恒/耗散格式。
• 通过基准问题的数值实验验证该方法，结果表明其能有效保持熵稳定性和动能守恒。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过基于优化的公式，系统地推导残差分配格式中的熵校正项？
• RQ2 该校正方法能否推广至同时强制多重约束（如熵和动能保持）？
• RQ3 SBP-SAT框架在实现间断伽辽金格式中稳定且守恒的熵校正项方面起到何种作用？
• RQ4 如何利用延迟校正（DeC）方法实现完全离散的熵守恒/耗散格式？
• RQ5 在双曲系统中，各种熵和物理约束下，校正项的显式解有哪些？

主要发现

• 本文为在熵不等式约束下的熵校正项提供了显式解析解，可直接实现。
• 通过在优化框架中引入额外约束，该校正方法成功在欧拉方程中保持了动能。
• 通过所提出的基于优化的校正公式，可同时强制实现熵和动能等多重约束。
• 延迟校正（DeC）方法首次实现了完全离散的熵守恒/耗散残差分配格式。
• 数值实验表明，所提出的格式在各类测试案例中均保持了熵稳定性和动能守恒。
• 该框架为双曲守恒律中结构保持离散化的系统化构建提供了一种通用且可推广的方法。