[论文解读] Entropy, topological transitivity, and dimensional properties of unique $q$-expansions

Rafael Alcaraz Barrera, Simon Baker+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 26被引用 8

一句话总结

本文刻画了在基 $ q \in (1, M+1] $ 下唯一 $ q $-展开的拓扑熵函数 $ H(q) = h(\mathbf{U}_q) $，证明其为具有显式平台的魔鬼阶梯，且分岔集 $ \mathscr{E} $ 是具有全 Hausdorff 维数的 Cantor 集。此外，本文进一步证明了对所有 $ q \in (1, M+1] $，唯一集 $ \mathcal{U}_q $ 的盒维数与 Hausdorff 维数相等，从而解决了长期存在的维数等价性问题。

ABSTRACT

Let $M$ be a positive integer and $q \in(1,M+1].$ We consider expansions of real numbers in base $q$ over the alphabet $\{0,\ldots, M\}$. In particular, we study the set $\mathcal{U}_{q}$ of real numbers with a unique $q$-expansion, and the set $\mathbf{U}_q$ of corresponding sequences. It was shown in (Komornik et al, 2017 Adv. Math.) that the function $H$, which associates to each $q\in(1, M+1]$ the topological entropy of $\mathcal{U}_q$, is a Devil's staircase. In this paper we explicitly determine the plateaus of $H$, and characterize the bifurcation set $\mathcal E$ of $q$'s where the function $H$ is not locally constant. Moreover, we show that $\mathcal E$ is a Cantor set of full Hausdorff dimension. We also investigate the topological transitivity of a naturally occurring subshift $(\mathbf{V}_q, σ),$ which has a close connection with open dynamical systems. Finally, we prove that the Hausdorff dimension and box dimension of $\mathcal{U}_q$ coincide for all $q\in(1,M+1]$.

研究动机与目标

• 刻画拓扑熵函数 $ H(q) = h(\mathbf{U}_q) $ 的平台，该函数此前已知为魔鬼阶梯。
• 识别并分析分岔集 $ \mathscr{E} $，即 $ H(q) $ 不为局部常数的点集，并证明其为具有全 Hausdorff 维数的 Cantor 集。
• 研究子移位 $ (\mathbf{V}_q, \sigma) $ 的拓扑传递性，该子移位与开放动力系统及唯一展开结构相关。
• 建立对所有 $ q \in (1, M+1] $，唯一集 $ \mathcal{U}_q $ 的盒维数与 Hausdorff 维数相等，从而解决关键的维数问题。

提出的方法

• 作者使用符号动力系统与字典序不等式，通过 1 的字典序最大展开 $ \alpha(q) $ 及其反射，刻画了唯一 $ q $-展开集 $ \mathbf{U}_q $。
• 通过研究不可约区间与 $ * $-不可约区间，分析熵函数 $ H(q) $，这些区间允许对参数空间进行分解，并识别出 $ H(q) $ 为常数的平台。
• 通过 $ q $-展开的结构与临界值 $ q_c $（即 Komornik-Loreti 常数）分析分岔集 $ \mathscr{E} $，该值处熵开始为正。
• 在两个参数区间内证明了 $ (\mathbf{V}_q, \sigma) $ 的拓扑传递性：$ q \in [q_G, q_T] $ 与 $ q \in (q_T, M+1] $，利用移位不变性与区间结构。
• 在维数相等性方面，作者通过缩放 $ \mathcal{W}_q $（即 $ \mathcal{U}_q $ 中展开以单个非零数字开头的点集）的副本构造了 $ \mathcal{U}_q $ 的覆盖。
• 通过宽度为 $ \delta_n = \frac{M}{q^n(q-1)} $ 的区间覆盖来界定盒维数，并将 $ \#B_n(\mathbf{W}_q) $ 的增长与熵关联，证明 $ \overline{\dim}_B(\mathcal{U}_q) = \frac{h(\mathbf{W}_q)}{\log q} $，该值等于 $ \dim_H(\mathcal{U}_q) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 熵函数 $ H(q) = h(\mathbf{U}_q) $ 的显式平台是什么？它在哪些区间上为常数？
• RQ2 分岔集 $ \mathscr{E} $ 的结构是什么？即 $ H(q) $ 不为局部常数的点集，其拓扑与分形性质如何？
• RQ3 子移位 $ (\mathbf{V}_q, \sigma) $ 的拓扑传递性在 $ q \in (1, M+1] $ 上是否一致？其与开放动力系统有何关联？
• RQ4 对所有 $ q \in (1, M+1] $，唯一集 $ \mathcal{U}_q $ 的盒维数与 Hausdorff 维数是否相等？若是，原因为何？

主要发现

• 熵函数 $ H(q) $ 是具有显式平台的魔鬼阶梯，这些平台通过参数空间中的不可约与 $ * $-不可约区间表征。
• 分岔集 $ \mathscr{E} $（即 $ H(q) $ 不为局部常数的点集）是具有全 Hausdorff 维数的 Cantor 集，证实了其分形复杂性。
• 对所有 $ q \in (1, M+1] $，子移位 $ (\mathbf{V}_q, \sigma) $ 均为拓扑传递，且在两个不同的参数区间内分别得到证明。
• 对所有 $ q \in (1, M+1] $，$ \mathcal{U}_q $ 的盒维数与 Hausdorff 维数相等，其共同值为 $ \frac{h(\mathbf{U}_q)}{\log q} $。
• 维数相等性的证明依赖于使用 $ \mathcal{W}_q $ 的缩放副本构造 $ \mathcal{U}_q $ 的区间覆盖，并通过熵界定 $ \#B_n(\mathbf{W}_q) $ 的增长。
• 作者证明了 $ \overline{\dim}_B(\mathcal{U}_q) = \overline{\dim}_B(\mathcal{W}_q) $，且由于 $ \dim_H(\mathcal{U}_q) = \frac{h(\mathbf{W}_q)}{\log q} $，因此维数相等性得证。