[论文解读] Enumerating permutations avoiding more than three Babson - Steingr\'\i msson patterns

Antonio Bernini, Elisa Pergola|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用 2

一句话总结

本文解決了 Claesson 和 Mansour 對於避免四種或五種類型為 (1,2) 或 (2,1) 的廣義模式之排列計數之猜測。透過對稱性簡化與包含關係推理，證明避免四種或五種此類模式等價於避免三種模式，從而確認相同的計數序列適用。此方法可延伸至超過五種禁止模式的情況。

ABSTRACT

Claesson and Mansour recently proposed some conjectures about the enumeration of the permutations avoiding more than three Babson-Steingrímsson patterns (generalized patterns of type (1, 2) or (2, 1)). The avoidance of one, two or three patterns has already been considered. Here, the cases of four and five forbidden patterns are solved and the exact enumeration of the permutations avoiding them is given, confirming the conjectures of Claesson and Mansour. The approach we use can be easily extended to the cases of more than five forbidden patterns. 1

研究动机与目标

• 解決 Claesson 與 Mansour 關於避免四種或五種類型為 (1,2) 或 (2,1) 之廣義模式之排列精確計數之開放猜測。
• 建立避免四種或五種此類模式之排列數量等同於僅避免三種模式之排列數量的事實，這是基於結構性包含關係。
• 提供一種系統性方法，適用於超過五種禁止模式之情況，藉由利用對稱性與包含性質。
• 確認對於三種模式避免之相同計數序列可延伸至四種與五種模式避免，如所猜測。
• 提供一個可推廣的框架，以對稱類與模式推導規則證明此類等價關係。

提出的方法

• 利用廣義模式在反轉與補數變換下的對稱類，以減少需考慮之不同情況數量。
• 應用八個關鍵包含性質（例如：若一排列避免 2−13，則亦避免 2−13 與 21−3），以證明某些四種或五種模式避免集合等價於三種模式集合。
• 利用 S(p1,p2,p3,p4) ⊆ S(pi1,pi2,pi3) 之性質，並透過性質證明反向包含關係，從而證明避免類別之相等。
• 以先前研究 [BFP] 中已知之三種模式避免結果為基礎，推導四種與五種模式之情況。
• 系統性分析所有禁止模式組合，使用表格與代表性集合，透過對稱性縮小搜尋空間。
• 透過識別一個五種模式子集 Q，使得應用某一性質可導出六種模式集合 P，從而使 |Sn(P)| = |Sn(Q)|，將此方法延伸至超過五種禁止模式之情況。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否計數三種廣義模式（類型為 (1,2) 或 (2,1)）避免之排列的相同計數序列，也適用於避免四種此類模式之排列？
• RQ2 是否可將避免五種廣義模式（類型為 (1,2) 或 (2,1)）之問題簡化為僅避免三種此類模式？
• RQ3 是否存在一種通用方法，可證明避免四種或五種此類模式之集合等價於避免較小集合，基於模式推導關係？
• RQ4 是否可將用於四種與五種模式避免之方法延伸至六種或更多禁止模式之集合？
• RQ5 哪些具體包含規則（例如：若避免 2−13 則亦避免 21−3）足以建立避免類別之間的等價關係？

主要发现

• 本文確認了 Claesson 與 Mansour 對於避免四種類型為 (1,2) 或 (2,1) 之廣義模式之排列計數的所有猜測。
• 對於每組四種禁止模式，避免之排列數量等同於對應三種模式集合之避免排列數量，此結果來自包含性質。
• 五種模式避免之情況亦有相同結果：五種禁止模式之計數序列與三種模式避免類別之計數序列一致。
• 作者識別出 12 種四種模式集合之不同對稱類與 13 種五種模式集合之不同對稱類，每種皆具有已知之計數序列。
• 該方法成功透過證明當 P 由 Q 透過包含性質推導時，|Sn(P)| = |Sn(Q)|，從而簡化問題複雜度。
• 該框架具可推廣性：對於任意六種禁止模式之集合 P，皆可找到一五種模式子集 Q，使得 |Sn(P)| = |Sn(Q)|，假設 [CM] 中之猜測成立。