[论文解读] Enumerating the total number of subtrees of trees

Shuchao Li, Shujing Wang|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2012

Graph theory and applications参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文在匹配数、支配数、最大度数、叶数和直径等各种结构约束下，确定了 $n$-顶点树中子树总数及含叶子树的子树数的精确上下界。通过组合优化与子树计数技术，刻画了达到这些界限的极值树，包括路径型和星型结构。

ABSTRACT

Over some types of trees with a given number of vertices, which trees minimize or maximize the total number of subtrees or leaf containing subtrees are studied. Here are some of the main results:\ (1)\, Sharp upper bound on the total number of subtrees (resp. leaf containing subtrees) among $n$-vertex trees with a given matching number is determined; as a consequence, the $n$-vertex tree with domination number $γ$ maximizing the total number of subtrees (resp. leaf containing subtrees) is characterized. (2)\, Sharp lower bound on the total number of leaf containing subtrees among $n$-vertex trees with maximum degree at least $Δ$ is determined; as a consequence the $n$-vertex tree with maximum degree at least $Δ$ having a perfect matching minimizing the total number of subtrees (resp. leaf containing subtrees) is characterized. (3)\, Sharp upper (resp. lower) bound on the total number of leaf containing subtrees among the set of all $n$-vertex trees with $k$ leaves (resp. the set of all $n$-vertex trees of diameter $d$) is determined.

研究动机与目标

• 确定在给定结构约束下，使子树总数最大化或最小化的 $n$-顶点极值树。
• 刻画在匹配数、支配数、最大度数、叶数和直径等约束下，使含叶子树数量极值化的树。
• 为特定类别的树（包括匹配数或直径固定的树）的子树计数建立精确的上下界。
• 将已知的 Wiener 指数极值结果推广至子树计数，揭示两者不变量之间的结构相似性。

提出的方法

• 在树结构上使用组合优化，特别关注路径型和星型结构作为极值候选。
• 应用已知的子树计数结果，包括对有中心顶点高阶度的树和吊钟形树的子树数量公式。
• 采用递归分解与子树计数公式 $ F(T) = F(T - v) + F(T - N_T(v)) $，其中 $ F(T) $ 表示树 $ T $ 中的子树数量。
• 利用 Wiener 指数与子树计数之间的关系，指出在某些约束下，两者均由相同的极值树（路径与星形）同时达到最大值或最小值。
• 使用引理 2.6 和事实 1 比较不同树的子树计数，通过反证法和结构变换证明极值性。
• 利用下取整与上取整函数推导出极值子树计数的闭式表达式，例如 $ F^*(T_n^k) = \left(\left\lfloor\frac{n-1}{k}\right\rfloor+1\right)^i \left(\left\lceil\frac{n-1}{k}\right\rceil+1\right)^j - \left(\left\lfloor\frac{n-1}{k}\right\rfloor\right)^i \left(\left\lceil\frac{n-1}{k}\right\rceil\right)^j + i\left\lfloor\frac{n-1}{k}\right\rfloor + j\left\lceil\frac{n-1}{k}\right\rceil $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在匹配数固定的情况下，哪些 $n$-顶点树使子树总数最大化或最小化？
• RQ2 对于支配数为 $\gamma$ 的 $n$-顶点树，哪些树使含叶子树的数量最大化或最小化？
• RQ3 在最大度数至少为 $\Delta$ 的 $n$-顶点树中，含叶子树数量的精确下界是什么？
• RQ4 在具有 $k$ 个叶的 $n$-顶点树中，哪些树使子树总数最大化或最小化？
• RQ5 在直径为 $d$ 的 $n$-顶点树中，哪些树使含叶子树的数量最小化或最大化？

主要发现

• 匹配数为 $q$ 的 $n$-顶点树中，使子树总数最大的极值树被刻画，其为 $T_n^k$ 且 $k = q$。
• 对于支配数为 $\gamma$ 的树，使子树数量最大的极值树被唯一刻画为 $T_n^k$ 且 $k = \gamma$。
• 在最大度数至少为 $\Delta$ 的 $n$-顶点树中，含叶子树数量的精确下界由一个具有完美匹配且最大度数为 $\Delta$ 的树实现，该树使子树计数最小化。
• 在直径为 $d$ 的 $n$-顶点树中，使含叶子树数量最小的极值树为 $\hat{T}_{n,i}^d$，其中 $i = \lfloor d/2 \rfloor + 1$ 或 $i = \lceil d/2 \rceil + 1$，其子树计数为 $2^{n-d-1}(\lfloor d/2 \rfloor + 1)(\lceil d/2 \rceil + 1) + \binom{\lfloor d/2 \rfloor + 1}{2}\binom{\lceil d/2 \rceil + 1}{2} + n - d - 1 - \binom{d}{2}$。
• 在具有 $k$ 个叶的 $n$-顶点树中，使子树总数最大的极值树为 $T_n^k$，其总子树计数由涉及 $\frac{n-1}{k}$ 的下取整与上取整函数的闭式表达式给出。
• 证明了极值树 $\hat{T}_{n,i}^d$ 中的含叶子树数量严格小于 $\mathscr{S}_{n,d}$ 中任何其他树的对应数量，且仅当树为 $\hat{T}_{n,i}^d$ 时取等。