[论文解读] Enumeration of edges in some lattices of paths

Luca Ferrari, Emanuele Munarini|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文通过路径分解与生成函数方法，枚举了各类格路偏序集（包括Dyck、Motzkin、Schröder与Young格）的哈斯图中的边数。通过角格点贡献推导出任意Young格 $\mathcal{Y}_\lambda$ 中边数的一般公式，证明经典路径格的哈斯指标（边-顶点比）渐近等价于布尔格的哈斯指标。

ABSTRACT

We enumerate the edges in the Hasse diagram of several lattices arising in the combinatorial context of lattice paths. Specifically, we will consider the case of Dyck, Grand Dyck, Motzkin, Grand Motzkin, Schröder and Grand Schröder lattices. Finally, we give a general formula for the number of edges in an arbitrary Young lattice (which can be interpreted in a natural way as a lattice of paths).

研究动机与目标

• 枚举由经典格路（如Dyck、大Dyck、Motzkin、大Motzkin、Schröder与大Schröder路径）生成的分配格的哈斯图中边的数量。
• 为任意与分拆 $\lambda$ 关联的Young格 $\mathcal{Y}_\lambda$ 推导出其哈斯图中边数的通用闭式公式。
• 研究这些格中哈斯指标（边-顶点比）的渐近行为，并与布尔格的哈斯指标进行比较。
• 建立路径分解技术与Dyck格中饱和链计数之间的联系，通过生成函数系列实现。

提出的方法

• 作者利用路径分解技术，推导经典路径格中边数的生成函数系列，借助已知的枚举序列（如Catalan数与中心二项式系数）。
• 对于Young格，他们定义角格点，并基于每个格点 $ (i,j) $ 在Ferrers图中关联的分拆 $\lambda_{ij}^{\swarrow}$ 与 $\lambda_{ij}^{\nearrow}$ 对格进行分解。
• 推导出关键公式 $ \ell(\mathcal{Y}_\lambda) = \sum_{(i,j)\in\Phi_\lambda} |\mathcal{Y}_{\lambda_{ij}^{\swarrow}}| \cdot |\mathcal{Y}_{\lambda_{ij}^{\nearrow}}| $，通过遍历所有角格点及其关联子格来计数边数。
• 计算出 $ L(m,n) = \mathcal{Y}_{(n,\dots,n)} $ 的边数生成函数为 $ \frac{xy}{(1-x-y)^2} $，进而得出闭式表达式 $ \ell(L(m,n)) = \binom{m+n-1}{n}n $。
• 分析哈斯指标（边-顶点比），并证明对于所有经典路径格，其哈斯指标渐近等价于布尔格的哈斯指标。

实验结果

研究问题

• RQ1 Dyck格 $\mathcal{D}_n$ 的哈斯图中边的确切数量是多少？
• RQ2 对于任意分拆 $\lambda$，如何计算Young格 $\mathcal{Y}_\lambda$ 的哈斯图中边的数量？
• RQ3 Dyck格与Motzkin格等经典路径格的哈斯指标（边-顶点比）的渐近行为如何？
• RQ4 路径格的哈斯指标与布尔格的哈斯指标相比如何？

主要发现

• Young格 $ L(m,n) $ 的哈斯图中边数为 $ \ell(L(m,n)) = \binom{m+n-1}{n}n $，该结果由生成函数 $ \frac{xy}{(1-x-y)^2} $ 推导得出。
• 对于任意分拆 $ \lambda $，$ \mathcal{Y}_\lambda $ 中的边数为 $ \sum_{(i,j)\in\Phi_\lambda} |\mathcal{Y}_{\lambda_{ij}^{\swarrow}}| \cdot |\mathcal{Y}_{\lambda_{ij}^{\nearrow}}| $，其中求和范围为 $ \lambda $ 的Ferrers图中所有格点。
• Dyck格 $ \mathcal{D}_n $ 的哈斯指标渐近等价于同秩 $ n $ 的布尔格的哈斯指标，且该结论对大Dyck、Motzkin、大Motzkin、Schröder与大Schröder格同样成立。
• 所有经典路径格的哈斯指标与布尔格的哈斯指标之间，要么相等，要么渐近等价，或渐近准等价。