[论文解读] Enumeration of several two-by-four classes

Sam Miner|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文推导出三个此前未被计数的避免两个四字母模式的排列类的显式代数生成函数：$Av(4123,1324)$、$Av(4123,1243)$ 和 $Av(4123,1342)$。通过在多元生成函数框架中使用催化变量和核法，作者获得了次数为二的闭式表达式，分别揭示了增长率为 4、5 和约 4.17035。结果表明，这些类中的大排列极有可能避免额外的模式，暗示其具有结构规律性。

ABSTRACT

We use catalytic variables to derive generating functions for the permutation classes $Av( extbf{4123}, extbf{1324})$, $Av( extbf{4123}, extbf{1243})$, and $Av( extbf{4123}, extbf{1342})$. Each generating function is algebraic of degree two, and the growth rates of the classes are 4, 5, and $α$, respectively, where $α\approx 4.17035$. As a consequence of our analysis, we see that a typical large permutation in $Av( extbf{4123}, extbf{1324})$ is likely to also avoid $ extbf{3124}$, and is even more likely to avoid $ extbf{31524}$. Large permutations which avoid $ extbf{4123}$ and $ extbf{1243}$ are likely to also avoid $ extbf{1423}$.

研究动机与目标

• 对三个此前未被计数的两两四字母模式避免排列类进行计数：$Av(4123,1324)$、$Av(4123,1243)$ 和 $Av(4123,1342)$。
• 应用催化变量和多元生成函数，推导这些类的闭式生成函数。
• 确定这些类的增长率，并分析避免额外模式的渐近可能性。
• 将源图和扇形分解法的应用范围扩展至初始源图具有限制性的类。

提出的方法

• 使用精心选择的催化变量的多元生成函数，对类中排列的结构进行建模。
• 使用核法求解由排列的组合分解为源图和组件所导出的功能方程。
• 基于源图和组件类型（扇形、和分量、锯齿分量、混合）对排列进行分解，以建立递归生成函数系统。
• 应用核法求解子类的生成函数，并将它们组合以获得完整的生成函数。
• 使用解析组合学，特别是命题 1.4，从生成函数中提取渐近增长率。
• 利用符号计算（Maple）和可视化工具（PermLab）验证代数运算和结构洞察。

实验结果

研究问题

• RQ1 排列类 $Av(4123,1324)$ 的生成函数是什么？其增长率是多少？
• RQ2 核法和催化变量是否可用于推导具有非平凡结构的两两四字母类的代数生成函数？
• RQ3 在 $Av(4123,1324)$ 中，大排列避免 3124 或 31524 的可能性有多大？这对类的结构有何含义？
• RQ4 排列类 $Av(4123,1342)$ 中排列数的渐近行为如何？其是否遵循可预测的增长模式？
• RQ5 源图分解在初始源图不局限于扇形的类中，可推广到何种程度？

主要发现

• 在 $Av(4123,1324)$ 中，生成函数是二次代数的，具有包含 $\sqrt{1-4z}$ 的闭式表达式，增长率为精确的 4。
• 在 $Av(4123,1243)$ 中，生成函数是二次代数的，具有包含 $\sqrt{1-6z+5z^2}$ 的闭式表达式，增长率为精确的 5。
• 在 $Av(4123,1342)$ 中，生成函数是二次代数的，增长率约为 4.17035，由在 $z \approx 0.239788$ 处的主导奇点导出。
• 在 $Av(4123,1324}$ 中，大排列渐近地极有可能同时避免 3124 和 31524，此类排列的比例随 $n \to \infty$ 趋近于 1，具体为 $1 - \frac{45}{64n} + o(1/n)$。
• 类 $Av(4123,1243)$ 被证明具有高度结构化，大排列极有可能也避免 1423。
• 结果将未被计数的两两四字母类减少至五个，目前仅剩两个未分类：$Av(3412,4123)$ 和 $Av(3412,2413)$。