[论文解读] Enumeration of singular varieties with tangency conditions

Yu-jong Tzeng|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文提出了一套代数 cobordism 框架，用于枚举在光滑流形上光滑除子具有指定相切条件的奇异子簇。在充分正条件下，证明了此类子簇的数量由陈示性类不变量的通用多项式控制，通过从代数 cobordism 群到幂级数环的生成系列同态，统一了 Severi 度数、Caporaso-Harris 不变量、Göttsche 猜想以及 De Jonquière 公式。

ABSTRACT

We construct the algebraic cobordism theory of bundles and divisors on smooth varieties. It has a simple basis (over Q) from projective spaces and its rank is equal to the number of Chern invariants. As an application we study the number of singular subvarieties satisfying given tangent conditions with a fixed smooth divisor, where the subvariety is the zero locus of a section of a vector bundle. We prove that the generating series gives a homomorphism from the algebraic cobordism group to the power series ring. This implies that the number of singular subvarieties with tangency conditions is governed by universal polynomials of Chern numbers, when the vector bundle is sufficiently ample. This result combines and generalizes the Caporaso-Harris and Vakil's recursive formulae, Gottsche's conjecture, De Jonquiere's Formula and relative node polynomials from tropical geometry. In the revised version, we allow the tangency conditions to be at assigned and unassigned points and prove the existence of universal polynomials and a formula for generating series. This completes the most general case of such enumeration of singular varieties for any dimension. We also correct the proof in Section 5, 6 when the divisor D is not irreducible, and Theorem 2.2. Typos are corrected.

研究动机与目标

• 将 Caporaso-Harris 不变量推广至具有与光滑除子相切条件的高维流形。
• 建立在向量丛充分正时，满足给定相切与奇异条件的奇异子簇数量由陈示性类不变量的通用多项式控制的结论。
• 通过单一的代数 cobordism 理论框架，统一曲线计数中分散的结果，如 Severi 度数、Göttsche 猜想以及热带相对节点多项式。
• 通过在指定与未指定点处的孤立完备交奇点（ICIS）形式化定义并形式化相切条件，避免非横截或非预期维数的交点。

提出的方法

• 为光滑流形上的向量丛与除子构建代数 cobordism 理论，基于射影空间在 ℚ 上建立基。
• 通过方案论交集 $X \cap D$ 的奇点类型定义相切条件，其中 $X$ 为子簇，$D$ 为光滑除子。
• 引入生成系列 $T_\alpha(Y,D,E)$，作为从代数 cobordism 群到幂级数环的同态，编码具有指定奇点与相切类型的子簇计数。
• 利用 Hilbert 纲面将此类子簇的数量表示为交积数，从而证明通用性。
• 将该框架应用于恢复已知结果：Caporaso-Harris 不变量、De Jonquière 公式，以及 $\delta$-节点曲线的通用多项式。
• 利用代数 cobordism 群的结构，证明生成系列的系数为陈数的通用多项式，且与基流形无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 当向量丛充分正时，具有指定相切条件的奇异子簇数量是否可表示为陈示性类不变量的通用多项式？
• RQ2 Caporaso-Harris 不变量、Göttsche 猜想与 De Jonquière 公式如何通过代数 cobordism 框架统一？
• RQ3 孤立完备交奇点（ICIS）在高维中表征相切条件时起什么作用？
• RQ4 此类不变量的生成系列是否构成从代数 cobordism 群到幂级数环的同态？
• RQ5 在特殊情形下（如 Calabi–Yau 三流形或对数典则流形），生成系列是否存在闭式表达式或模形式结构？

主要发现

• 生成系列 $T_\alpha(Y,D,E)$ 是从代数 cobordism 群到幂级数环的同态，证明了不变量的通用性。
• 当向量丛充分正时，具有给定相切与奇点类型的奇异子簇数量是陈示性类不变量 $c_1(E)^n$、$c_1(E)^{n-1}c_1(K_Y)$ 等的通用多项式。
• 该框架恢复并推广了已知结果：Severi 度数、Göttsche 猜想、Caporaso-Harris 不变量与 De Jonquière 公式作为特例。
• 生成系列 $T_\alpha$ 的系数由 Hilbert 纲面上的交积数决定，即使循环 $Y(\alpha,\beta,\delta)$ 高度奇异亦然。
• 对于 $\delta \leq 14$，通过热带几何与算法方法计算了 $\delta$-节点曲线的通用多项式，与通用框架一致。
• 该方法适用于任意解析奇点与以 ICIS 形式编码的相切条件，超越节点奇点的限制。