[论文解读] Epidemic models with varying infectivity

Raphaël Forien, Guodong Pang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2020

COVID-19 epidemiological studies参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文提出了一种具有个体特异性、时变传染性的随机流行病模型，并且传染期具有普遍性，证明了功能大数定律（FLLN），从而导出一个确定性的伏尔泰拉积分方程组。其主要贡献在于严格推导出基本再生数 $R_0$，该值以平均传染性函数和流行病增长速率表示，且在新冠状病毒病（Covid-19）中得到验证。

ABSTRACT

We introduce an epidemic model with varying infectivity and general exposed and infectious periods, where the infectivity of each individual is a random function of the elapsed time since infection, those function being i.i.d. for the various individuals in the population. This approach models infection-age dependent infectivity, and extends the classical SIR and SEIR models. We focus on the infectivity process (total force of infection at each time), and prove a functional law of large number (FLLN). In the deterministic limit of this LLN, the infectivity process and the susceptible process are determined by a two-dimensional deterministic integral equation. From its solutions, we then derive the exposed, infectious and recovered processes, again using integral equations. For the early phase, we study the stochastic model directly by using an approximate (non--Markovian) branching process, and show that the epidemic grows at an exponential rate on the event of non-extinction, which matches the rate of growth derived from the deterministic linearized equations. We also use these equations to derive the basic reproduction number $R_0$ during the early stage of an epidemic, in terms of the average individual infectivity function and the exponential rate of growth of the epidemic.

研究动机与目标

• 开发一种更符合现实的流行病模型，其中个体的传染性随感染时长而变化，突破传统指数分布传染期的限制。
• 为具有独立同分布随机传染性函数的非马尔可夫随机模型，建立功能大数定律（FLLN）极限。
• 推导出控制平均传染性和易感者比例的确定性伏尔泰拉型积分方程系统。
• 利用非马尔可夫分支过程近似方法分析流行病早期阶段。
• 将基本再生数 $R_0$ 表达为平均传染性函数与早期流行病传播指数增长速率的函数。

提出的方法

• 将每个人的传染性建模为感染后时间的独立同分布随机函数，允许其形状具有普遍性，如先上升后下降或恒定。
• 使用泊松随机测度表示新感染的到达及其与感染时长相关的传播动力学。
• 通过矩界和类似鞅的论证方法，证明紧致性与重标度经验过程的收敛性，从而完成FLLN的证明。
• 将极限确定性系统导出为关于平均传染性和易感者比例的二维伏尔泰拉积分方程。
• 在收敛性证明中，通过时间变换和分部积分技术处理非马尔可夫依赖关系。
• 利用分支过程近似分析早期流行病阶段，并推导出指数增长速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限人群中，个体传染性随感染时长变化如何影响整体流行病动力学？
• RQ2 具有普遍传染期和潜伏期、且传染性随时间变化的随机流行病模型，其确定性极限是什么？
• RQ3 当传染性并非恒定而是依赖于感染时长时，基本再生数 $R_0$ 如何表达？
• RQ4 当传染性随感染后时间变化时，流行病在早期阶段的指数增长速率是多少？
• RQ5 对于具有独立同分布传染性函数的非马尔可夫模型，能否严格推导出其确定性极限？

主要发现

• 该随机模型的FLLN极限是一个二维伏尔泰拉积分方程组，描述了平均传染性和易感者比例的演化过程。
• 在非灭绝事件下，早期阶段的随机模型呈指数增长，其增长速率与对确定性积分方程线性化后导出的速率一致。
• 基本再生数 $R_0$ 表达为平均传染性函数与指数增长速率加权积分的形式，为经典 $R_0$ 公式的非马尔可夫推广。
• 该模型成功捕捉了法国新冠状病毒病的实际流行曲线，由于其在持续时间和传染性假设上的灵活性，优于经典马尔可夫模型。
• 收敛性证明通过使用矩界和补偿泊松随机测度，避免依赖鞅技术，从而处理了非马尔可夫动力学。
• 该框架可扩展至SIS、SIRS和多区域模型，且相关工作已建立功能中心极限定理。